Question

如图，O为Rt△ABC的直角边AC上一点，以O为圆心OC为半径作⊙O切AB于点D，交边AC于点E．
（1）若△BDC为等边三角形，试求

AE

AD

的值；
（2）若AC=4，BC=3，求CD的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）根据等边三角形的性质得出∠ABC=60°，从而求得∠A=30°，根据30°角所对直角边等于斜边的一半得出BC=

1

2

AB，根据切线的性质得出BC=BD，从而求得AD=BC，设BC=x，则AB=2x，AC=

3

x，根据AD²=AE•AC，即可求得AE═

4 3

3

x，进而即可求得

AE

AD

的值；
（2）连接CD交OB于F，根据勾股定理求得AB=5，根据切线的性质得出BD=BC=3，得出AD=2，根据AD²=AE•AC，求得AE=1，从而求得直径EC，得出半径OC=

3

2

再根据勾股定理求得OB，然后根据三角形相似求得CF，即可求得CD的长．

解答：解：（1）∵△BDC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∴BC=

1

2

AB，
∵AC⊥BC，
∴BC是⊙O切线，
∵AB是⊙O切线，
∴BC=BD，
∴AD=BC，
设BC=x，则AB=2x，AC=

3

x，
∵AD²=AE•AC，
∴（2x）²=AE•

3

x，
解得AE=

4 3

3

x，
∴

AE

AD

=

4 3 3 x

x

=

4 3

3

；

（2）连接CD交OB于F，．
∵在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，
∴AB=

AC2+BC2

=5，
∵BD=BC=3，
∴AD=2，
∵AB是⊙O的切线，
∴AD²=AE•AC，
∴AE=

22

4

=1，
∴EC=4-1=3，
∴OC=

3

2

，
∵在Rt△OBC中，OC=

3

2

，BC=3，
∴OB=

OC2+BC2

=

3 5

2

，
∵OB垂直平分CD，
∴∠OFC=∠OCB=90°，
∵∠COF=∠BOC，
∴△OCF∽△OBC，
∵

CF

BC

=

OC

OB

∴CF=

3 5

5

∴CD=2CF=

6 5

5

．

点评：本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，勾股定理的应用，直角三角形的性质等，熟练掌握切线的性质是本题的关键．