Question

【题目】红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的 日销售量(件)与时间(天)的关系如下表：

时间(天)	1	3	6	10	36	…
日销售量(件)	94	90	84	76	24	…

未来40天内，前20天每天的价格y1(元/件)与t时间(天)的函数关系式为：y1=t+25(1≤t≤20且t为整数)；后20天每天的价格y2(原/件)与t时间(天)的函数关系式为：y2=—t+40(21≤t≤40且t为整数).下面我们来研究 这种商品的有关问题.

(1)认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数 、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式；

(2)请预测未来40天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？

(3)在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润(a＜4)给希望工程，公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）y=﹣2t+96；（2）当t=14时，利润最大，最大利润是578元；（3）3≤a＜4．

【解析】

（1）通过观察表格中的数据日销售量与时间t是均匀减少的，所以确定m与t是一次函数关系，利用待定系数法即可求出函数关系式；
（2）根据日销售量、每天的价格及时间t可以列出销售利润W关于t的二次函数，然后利用二次函数的性质即可求出哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少；
（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数的性质求出a的取值范围 ．

（1）设数m=kt+b，有,解得

∴m=-2t+96，经检验，其他点的坐标均适合以上
析式故所求函数的解析式为m=-2t+96．
（2）设日销售利润为P，

由P=（-2t+96）=t2-88t+1920=（t-44）2-16，
∵21≤t≤40且对称轴为t=44，
∴函数P在21≤t≤40上随t的增大而减小，
∴当t=21时，P有最大值为（21-44）2-16=529-16=513（元），

答：来40天中后20天，第2天的日销售利润最大，最大日销售利润是513元.
（3）P1=（-2t+96）
=-+（14+2a）t+480-96n，
∴对称轴为t=14+2a，
∵1≤t≤20，
∴14+2a≥20得a≥3时，P1随t的增大而增大，
又∵a＜4，
∴3≤a＜4．