精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

【题目】如图,已知直线ly=﹣1和抛物线Lyax2+bx+ca≠0),抛物线L的顶点为原点,且经过点A(2,),直线ykx+1y轴交于点F,与抛物线L交于点Bx1y1),Cx2y2),且x1x2

1)求抛物线L的解析式;

2)点P是抛物线L上一动点.

①以点P为圆心,PF为半径作⊙P,试判断⊙P与直线l的位置关系,并说明理由;

②若点Q23),当|PQPF|的值最小时,求点P的坐标;

3)求证:无论k为何值,直线l总是与以BC为直径的圆相切.

【答案】1yx2;(2)①点⊙P与直线l的位置关系为相切;理由见解析;②点P的坐标为(23);(3)见解析.

【解析】

1)抛物线的表达式为:y=ax2,将点A坐标代入上式,即可求解;
2)①点F01),设:点Pmm2),则PF=m2+1,而点P到直线l的距离为:m2+1,即可求解;②当点PQF三点共线时,|PQ-PF|最小,即可求解;
3x2-x1= =4,设直线BC的倾斜角为α,则tanα=k,则cosα= ,则BC= =4k2+1),则BC=2k2+2,设BC的中点为M2k2k2+1),则点M到直线l的距离为:2k2+2,即可求解.

1)抛物线的表达式为:y=ax2
将点A坐标代入上式得:=a22,解得:a=
故抛物线的表达式为:y=x2①;
2)①点F01),设:点Pmm2),
PF=m2+1=m2+1
而点P到直线l的距离为:m2+1
则⊙P与直线l的位置关系为相切;
②当点PQF三点共线时,|PQ-PF|最小,
将点FQ的坐标代入一次函数表达式:y=kx+b并解得:
直线FQ的函数表达式为:y=x+1…②,
联立①②并解得:x=2
故点P的坐标为:(23);
3)将抛物线的表达式与直线y=kx+1联立并整理得:
x2-4kx-4=0
x1+x2=4kx1x2=-4
y1+y2=kx1+x2+2=4k2+2
x2-x1==4
设直线BC的倾斜角为α,则tanα=k,则cosα=,则BC==4k2+1),则BC=2k2+2
BC的中点为M2k2k2+1),则点M到直线l的距离为:2k2+2
故直线l总是与以BC为直径的圆相切.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】某中学准各去湿地公园开展社会实践活动,学校给出A:十八弯,B:长广溪,C:九里河,D:贡湖湾,共四个目的地.为了解学生最喜欢哪一个目的地,随机抽取了部分学生进行调査,并将调査结果绘制了如下两幅不完整的统计图.请回答下列问题:

1)这次被调査的学生共有  人.

2)请你将条形统计图补充完整.

3)扇形统计图中D项目对立的扇形的圆心角度数是  °

4)已知该校学生2400人,请根据调査结果估计该校最喜欢去长广溪湿地公园的学生人数.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】已知:如图,折叠矩形ABCD,使点B落在对角线AC上的点F处,若BC8AB6,则线段CE的长度是(  )

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】国家限购以来,二手房和新楼盘的成交量迅速下降.据统计,某市限购前某季度二手房和新楼盘成交量为9500套;限购后,同一季度二手房和新楼盘的成交量共4425套.其中二手房成交量比限购前减少55%,新楼盘成交量比限购前减少52%.

1)问限购后二手房和新楼盘各成交多少套?

2)在成交量下跌的同时,房价也大幅跳水.某楼盘限购前均价为12000/m2,限购后,房价经过二次下调后均价为9720/m2,求平均每次下调的百分率.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,把RtOAB置于平面直角坐标系中,点A的坐标为(04),点B的坐标为(30),点PRtOAB内切圆的圆心.将RtOAB沿y轴的正方向作无滑动滚动.使它的三边依次与x轴重合.第一次滚动后,圆心为P1,第二次滚动后圆心为P2依次规律,第2019次滚动后,RtOAB内切圆的圆心P2019的坐标是(  )

A.6731B.6741C.80761D.80771

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】九年级一班开展了读一本好书的活动,班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查,问卷设置了小说”“戏剧”“散文”“其他四个类型,每位同学仅选一项,根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图.

类别

频数(人数)

频率

小说

0.5

戏剧

4

散文

10

0.25

其他

6

合计

1

根据图表提供的信息,解答下列问题:

1)九年级一班有多少名学生?

2)请补全频数分布表,并求出扇形统计图中其他类所占的百分比;

3)在调查问卷中,甲、乙、丙、丁四位同学选择了戏剧类,现从以上四位同学中任意选出 2 名同学参加学校的戏剧兴趣小组,请用画树状图或列表法的方法,求选取的 2 人恰好是乙和丙的概率.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】为评估九年级学生的学习成绩状况,以应对即将到来的中考做好教学调整,某中学抽取了部分参加考试的学生的成绩作为样本分析,绘制成了如下两幅不完整的统计图,请根据图中提供的信息解答下列问题:
1)求本中学成绩类别为“中”的人数;
2)求出扇形图中,“优”所占的百分比,并将条形统计图补充完整;
3)该校九年级共有1000人参加了这次考试,请估算该校九年级共有多少名学生的数学成绩达到优秀?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】用适当的方法解方程。

14(x-3) =36

2x2-4x10.

3-7x+6=0

4

5(y1)22y(1y)0.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图1是实验室中的一种摆动装置,在地面上,支架是底边为的等腰直角三角形,摆动臂可绕点旋转,摆动臂可绕点旋转, .

1)在旋转过程中,当为同一直角三角形的顶点时,的长为______________.

2)若摆动臂顺时针旋转90°,点的位置由外的点转到其内的点处,连结,如图2,此时的长为______________.

查看答案和解析>>

同步练习册答案