【题目】如图,已知直线l:y=﹣1和抛物线L:y=ax2+bx+c(a≠0),抛物线L的顶点为原点,且经过点A(2,),直线y=kx+1与y轴交于点F,与抛物线L交于点B(x1,y1),C(x2,y2),且x1<x2.
(1)求抛物线L的解析式;
(2)点P是抛物线L上一动点.
①以点P为圆心,PF为半径作⊙P,试判断⊙P与直线l的位置关系,并说明理由;
②若点Q(2,3),当|PQ﹣PF|的值最小时,求点P的坐标;
(3)求证:无论k为何值,直线l总是与以BC为直径的圆相切.
【答案】(1)y=x2;(2)①点⊙P与直线l的位置关系为相切;理由见解析;②点P的坐标为(2,3);(3)见解析.
【解析】
(1)抛物线的表达式为:y=ax2,将点A坐标代入上式,即可求解;
(2)①点F(0,1),设:点P(m,m2),则PF=m2+1,而点P到直线l的距离为:m2+1,即可求解;②当点P、Q、F三点共线时,|PQ-PF|最小,即可求解;
(3)x2-x1= =4,设直线BC的倾斜角为α,则tanα=k,则cosα= ,则BC= =4(k2+1),则BC=2k2+2,设BC的中点为M(2k,2k2+1),则点M到直线l的距离为:2k2+2,即可求解.
(1)抛物线的表达式为:y=ax2,
将点A坐标代入上式得:=a(2)2,解得:a=,
故抛物线的表达式为:y=x2①;
(2)①点F(0,1),设:点P(m,m2),
则PF=m2+1=m2+1,
而点P到直线l的距离为:m2+1,
则⊙P与直线l的位置关系为相切;
②当点P、Q、F三点共线时,|PQ-PF|最小,
将点FQ的坐标代入一次函数表达式:y=kx+b并解得:
直线FQ的函数表达式为:y=x+1…②,
联立①②并解得:x=2,
故点P的坐标为:(2,3);
(3)将抛物线的表达式与直线y=kx+1联立并整理得:
x2-4kx-4=0,
则x1+x2=4k,x1x2=-4,
则y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2,
则x2-x1==4,
设直线BC的倾斜角为α,则tanα=k,则cosα=,则BC==4(k2+1),则BC=2k2+2,
设BC的中点为M(2k,2k2+1),则点M到直线l的距离为:2k2+2,
故直线l总是与以BC为直径的圆相切.
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【题目】某中学准各去湿地公园开展社会实践活动,学校给出A:十八弯,B:长广溪,C:九里河,D:贡湖湾,共四个目的地.为了解学生最喜欢哪一个目的地,随机抽取了部分学生进行调査,并将调査结果绘制了如下两幅不完整的统计图.请回答下列问题:
(1)这次被调査的学生共有 人.
(2)请你将条形统计图补充完整.
(3)扇形统计图中D项目对立的扇形的圆心角度数是 °.
(4)已知该校学生2400人,请根据调査结果估计该校最喜欢去长广溪湿地公园的学生人数.
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【题目】已知:如图,折叠矩形ABCD,使点B落在对角线AC上的点F处,若BC=8,AB=6,则线段CE的长度是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
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【题目】国家限购以来,二手房和新楼盘的成交量迅速下降.据统计,某市限购前某季度二手房和新楼盘成交量为9500套;限购后,同一季度二手房和新楼盘的成交量共4425套.其中二手房成交量比限购前减少55%,新楼盘成交量比限购前减少52%.
(1)问限购后二手房和新楼盘各成交多少套?
(2)在成交量下跌的同时,房价也大幅跳水.某楼盘限购前均价为12000元/m2,限购后,房价经过二次下调后均价为9720元/m2,求平均每次下调的百分率.
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【题目】如图,把Rt△OAB置于平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,4),点B的坐标为(3,0),点P是Rt△OAB内切圆的圆心.将Rt△OAB沿y轴的正方向作无滑动滚动.使它的三边依次与x轴重合.第一次滚动后,圆心为P1,第二次滚动后圆心为P2…依次规律,第2019次滚动后,Rt△OAB内切圆的圆心P2019的坐标是( )
A.(673,1)B.(674,1)C.(8076,1)D.(8077,1)
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【题目】九年级一班开展了“读一本好书”的活动,班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查,问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型,每位同学仅选一项,根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图.
类别 | 频数(人数) | 频率 |
小说 | 0.5 | |
戏剧 | 4 | |
散文 | 10 | 0.25 |
其他 | 6 | |
合计 | 1 |
根据图表提供的信息,解答下列问题:
(1)九年级一班有多少名学生?
(2)请补全频数分布表,并求出扇形统计图中“其他”类所占的百分比;
(3)在调查问卷中,甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类,现从以上四位同学中任意选出 2 名同学参加学校的戏剧兴趣小组,请用画树状图或列表法的方法,求选取的 2 人恰好是乙和丙的概率.
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【题目】为评估九年级学生的学习成绩状况,以应对即将到来的中考做好教学调整,某中学抽取了部分参加考试的学生的成绩作为样本分析,绘制成了如下两幅不完整的统计图,请根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)求本中学成绩类别为“中”的人数;
(2)求出扇形图中,“优”所占的百分比,并将条形统计图补充完整;
(3)该校九年级共有1000人参加了这次考试,请估算该校九年级共有多少名学生的数学成绩达到优秀?
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【题目】用适当的方法解方程。
(1)4(x-3) =36
(2)x2-4x+1=0.
(3)-7x+6=0
(4)
(5)(y-1)2+2y(1-y)=0.
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【题目】如图1是实验室中的一种摆动装置,在地面上,支架是底边为的等腰直角三角形,摆动臂可绕点旋转,摆动臂可绕点旋转, ,.
(1)在旋转过程中,当为同一直角三角形的顶点时,的长为______________.
(2)若摆动臂顺时针旋转90°,点的位置由外的点转到其内的点处,连结,如图2,此时,,的长为______________.
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