Question

如图，在△ABC中，AB=AC，D是AC上的一点，CD=3，BC=5，BD=4．
（1）求证：△BCD是直角三角形；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

考点：勾股定理的逆定理,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）利用勾股定理的逆定理即可直接证明△BCD是直角三角形；
（2）设AD=x，则AC=x+3，在直角△ABD中，利用勾股定理即可列出方程，解方程，即可求解．

解答：（1）证明：∵CD=3，BC=5，BD=4，
∴CD²+BD²=9+16=25=BC²，
∴△BCD是直角三角形，且∠BDC=90°；

（2）解：设AD=x，则AC=x+3．
∵AB=AC，
∴AB=x+3．
∵∠BDC=90°，
∴∠ADB=90°，
∴AB²=AD²+BD²，
即（x+3）²=x²+4²，
解得：x=

7

6

，
∴AC=

7

6

+3=

25

6

，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BD=

1

2

×

25

6

×4=

25

3

．

点评：本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．同时考查了勾股定理．