Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点，且AD＝BD，⊙O是△ACD的外接圆

（1）求证：直线AB是⊙O的切线；

（2）若AB＝10，BC＝16，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）连接AO并延长交⊙O于E，连接DE，根据各边的关系，利用等量代换求出∠E＝∠BAD，再根据直径所对应的的圆周角等于90°，所以∠E+∠DAE＝90°，等量代换∠BAD+∠DAE＝90°，即可证出.(2) 过A作AF⊥BC于F，利用相似三角形求出BD的长度，然后利用等腰三角形的三线合一性质求出BF的长度，再根据勾股定理求出AF的长，最后利用三角函数，根据比值关系求出AE的长，即可知道⊙O的半径.

（1）证明：连接AO并延长交⊙O于E，连接DE，

∵AB＝AC，AD＝BD，

∴∠B＝∠BAD，∠B＝∠C，

∴∠C＝∠E，

∴∠E＝∠BAD，

∵AE是⊙O的直径，

∴∠ADE＝90°，

∴∠E+∠DAE＝90°，

∴∠BAD+∠DAE＝90°，

即∠BAE＝90°，

∴直线AB是⊙O的切线；

（2）解：过A作AF⊥BC于F，

∵∠B＝∠BAD，∠B＝∠C，

∴∠BAD＝∠C，

∵∠B＝∠B，

∴△BAD∽△BCA，

∴=

∴BD＝＝，

∴AD＝BD＝，

∵AB＝AC，AF⊥BC，

∴BF＝BC＝8，

∴AF＝＝6，

∵∠E＝∠C＝∠B，

∴sinE＝sinB，

∴=，

∴AE＝，

∴⊙O的半径为÷2=．

即⊙O的半径为