Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4经过A（﹣3，0）、B（4，0）两点，且与y轴交于点C，点D在x轴的负半轴上，且BD=BC，有一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时另一个动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；
（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MA的值最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+4经过A（﹣3，0），B（4，0）两点，

∴ ，解得 ，

∴所求抛物线的解析式为：y=﹣ x2+ x+4

（2）解：如图1，依题意知AP=t，连接DQ，

∵A（﹣3，0），B（4，0），C（0，4），

∴AC=5，BC=4 ，AB=7．

∵BD=BC，

∴AD=AB﹣BD=7﹣4 ，

∵CD垂直平分PQ，

∴QD=DP，∠CDQ=∠CDP．

∵BD=BC，

∴∠DCB=∠CDB．

∴∠CDQ=∠DCB．

∴DQ∥BC．

∴△ADQ∽△ABC．

∴ = ，

∴ = ，

∴ = ，

解得DP=4 ﹣ ，

∴AP=AD+DP= ．

∴线段PQ被CD垂直平分时，t的值为 ；

（3）解：如图2，设抛物线y=﹣ x2+ x+4的对称轴x= 与x轴交于点E．点A，B关于对称轴x= 对称，连接BQ交该对称轴于点M．

则MQ+MA=MQ+MB，即MQ+MA=BQ，

∵当BQ⊥AC时，BQ最小，此时，∠EBM=∠ACO，

∴tan∠EBM=tan∠ACO= ，

∴ = ，

∴ = ，解ME= ．

∴M（ ， ），即在抛物线y=﹣ x2+ x+4的对称轴上存在一点M（ ， ），使得MQ+MA的值最小

【解析】（1）利用待定系数法，把A、B坐标代入解析式，得到方程组，求出a、b即可；（2）由垂直平分线性质和已知条件可得出△ADQ∽△ABC，对应边成比例，求出DP，进而求出AP=AD+DP，即可求出时间t;（2）要求MQ+MA的值最小，可采用对称法，MQ+MA可转化为MQ+MB，MQ+MA=BQ，即求BQ的最小值，当BQ⊥AC时，BQ最小，可利用tan∠EBM=tan∠ACO= ,列出等式，求出M纵坐标.