Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y＝x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（　　）

A. 6B. 5C. 4D. 3

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB的垂直平分线与直线y=x的交点为点C1，即可求得C的坐标，再求出AB的长，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为C2，C3，过点B作BD⊥直线y=x，垂足为D，则△OBD是等腰直角三角形，根据勾股定理求出点B到直线y=x的距离为，由＞4，可知以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x没有交点，据此即可求得答案.

如图，AB的垂直平分线与直线y=x相交于点C1，

∵A(0，2)，B(0，6)，∴AB=6﹣2=4，

以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为C2，C3，

过点B作BD⊥直线y=x，垂足为D，则△OBD是等腰直角三角形，

∴BD=OD，

∵OB=6，BD2+OD2=OB2，

∴BD=，

即点B到直线y=x的距离为，

∵＞4，

∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x没有交点，

综上所述，点C的个数是1+2=3，

故选D.