如图1.抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点A.与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式,(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M.在对称轴上存在点P.使△CMP为等腰三角形.请直接写出所有符合条件的点P的坐标,(3)设点Q是抛物线对称轴上的一个动点.当点Q满足|QB-QC|最大时.求出Q点的坐标,(4)如图2.若点E为第二象限抛物线上一动点.连接BE.CE.求四边形BOCE的面积� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图1，抛物线y=ax²+bx+6（a≠0）与x轴交于点A（2，0）和点B（-6，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，在对称轴上存在点P，使△CMP为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；
（3）设点Q是抛物线对称轴上的一个动点，当点Q满足|QB-QC|最大时，求出Q点的坐标；
（4）如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE的面积的最大值，并求此时E点的坐标．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将点A（2，0）和点B（-6，0）分别代入y=ax²+bx+6，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，进而得到抛物线的解析式；
（2）根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴为x=-2，再求出M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，6），根据M、C的坐标求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：①CP=PM；②CM=MP；③CM=CP；
（3）由抛物线的对称性可知QB=QA，故当Q、C、A三点共线时，|QB-QC|最大，连结AC并延长，交对称轴于点Q，利用待定系数法求出直线AC的解析式，再将x=-2代入，求出y的值，进而得到Q点的坐标；
（4）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，四边形BOCE的面积=三角形BFE的面积+直角梯形FOCE的面积．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在三角形BFE中，BF=BO-OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标．

解答：解：（1）由题知：

4a+2b+6=0

36a-6b+6=0

，
解得：

a=-

b=-2

，
故所求抛物线解析式为：y=-

x²-2x+6；

（2）∵抛物线解析式为：y=-

x²-2x+6，
∴对称轴为x=

2×(-

)

=-2，
设P点坐标为（-2，t），
∵当x=0时，y=6，
∴C（0，6），M（-2，0），
∴CM²=（-2-0）²+（0-6）²=40．
①当CP=PM时，（-2）²+（t-6）²=t²，解得t=

，
∴P点坐标为：P₁（-2，

）；
②当CM=PM时，40=t²，解得t=±2

，
∴P点坐标为：P₂（-2，2

）或P₃（-2，-2

）；
③当CM=CP时，由勾股定理得：40=（-2）²+（t-6）²，解得t=12，
∴P点坐标为：P₄（-2，12）．
综上所述，存在符合条件的点P，其坐标为P（-2，

）或P（-2，2

）或P（-2，-2

2k+m=0

m=6

，
解得

k=-3

b=6

，
∴y=-3x+6，
当x=-2时，y=-3×（-2）+6=12，
故当Q在（-2，12）的位置时，|QB-QC|最大；

（4）过点E作EF⊥x轴于点F，设E（n，-

n²-2n+6）（-6＜n＜0），
则EF=-

n²-2n+6，BF=n+6，OF=-n，
S_{四边形BOCE}=

BF•EF+

（OC+EF）•OF
=

（n+6）•（-

n²-2n+6）+

（6-

n²-2n+6）•（-n）
=-

n²-9n+18=-

（n+3）²+

，
所以当n=-3时，S_{四边形BOCE}最大，且最大值为

．
此时，点E坐标为（-3，

）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，等腰三角形的性质，二次函数的性质，四边形的面积，综合性较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．

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