Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC.延长BC到点D，使CD＝CA，连接AD交⊙O于点E.

（1）求证：△ABE≌△CDE；

（2）填空：

①当∠ABC的度数为 时，四边形AOCE是菱形；

②若AE＝6，BE=8，则EF的长为 .

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）①60②

【解析】分析：（1）根据AAS证明两三角形全等；

（2）①先证明∠AOC=∠AEC=120°，∠OAE=∠OCE=60°，可得AOCE，由OA=OC可得结论；

②根据（1）中的全等得：BE=DE=8，AE=CE=6，证明△ECD∽△CFB，列式可得：=，证明△AEF∽△BCF，则可得EF的长．

详解：（1）证明：∵AB=AC，CD=CA，∴∠ABC=∠ACB，AB=CD．

∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ECD=∠BAE，∠CED=∠ABC．

∵∠ABC=∠ACB=∠AEB，∴∠CED=∠AEB，∴△ABE≌△CDE（AAS）；

（2）①当∠ABC的度数为60°时，四边形AOCE是菱形；

理由是：连接AO、OC．

∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ABC+∠AEC=180°．

∵∠ABC=60，∴∠AEC=120°=∠AOC．

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°．

∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°．

∵∠ACB=∠CAD+∠D．

∵AC=CD，∴∠CAD=∠D=30°，∴∠ACE=180°﹣120°﹣30°=30°，∴∠OAE=∠OCE=60°，∴四边形AOCE是平行四边形．

∵OA=OC，∴AOCE是菱形；

②由（1）得：△ABE≌△CDE，∴BE=DE=8，AE=CE=6，∴∠D=∠EBC．

∵∠CED=∠ABC=∠ACB，∴△ECD∽△CFB，∴=．

∵∠AFE=∠BFC，∠AEB=∠FCB，∴△AEF∽△BCF，∴=，∴EF==．

故答案为：①60°；②．