Question

9．如图，直线y=ax+1（a≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y=$\frac{k}{x}$在第四象限的交点为C．若点B与点C关于点A对称，且△BOC的面积为$\sqrt{3}$．
（1）求a、k的值；
（2）问：在x轴上是否存在这样的点P，使得△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据直线的解析式先求得B的坐标，然后根据三角形的面积求得C的坐标，然后利用待定系数法即可求得a和k．
（2）存在，分两种情况考虑，以O为圆心OA长为半径画弧，与x轴交于点P₁，P₂；以A为圆心，AO长为半径画弧，与x轴交于P₃、P₄点，分别求出坐标即可．

解答 解：（1）∵直线y=ax+1（a≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴B（0，1），
∴OB=1，
∵△BOC的面积为$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$OB•x_C=$\sqrt{3}$，
∴x_C=2$\sqrt{3}$，
∵点B与点C关于点A对称，
∴|y_C|=OB=1，
∴C（2$\sqrt{3}$，-1），
∴-1=2$\sqrt{3}$a+1，解得a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
k=-2$\sqrt{3}$．
（2）存在，分两种情况考虑，
①以B为圆心BC长为半径画弧，与x轴交于点P₁，P₂，
∵B（0，1），C（2$\sqrt{3}$，-1）
∴BC=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+（{1+1）}^{2}}$=4，
∴BP=4，
∴OP₁=OP₂=$\sqrt{B{P}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
∴点P₁（-$\sqrt{15}$，0），P₂（$\sqrt{15}$，0）；
以C为圆心，BC长为半径画弧，与x轴交于P₃、P₄，
此时P₃（-$\sqrt{15}$+2$\sqrt{3}$，0），P₄（$\sqrt{15}$+2$\sqrt{3}$，0）；
综上，满足题意的P点坐标为（-$\sqrt{15}$，0）或（$\sqrt{15}$，0）或（-$\sqrt{15}$+2$\sqrt{3}$，0）或（$\sqrt{15}$+2$\sqrt{3}$，0）．

点评 此题考查了待定系数法求函数解析式，两函数交点坐标求法，等腰三角形的性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．