Question

19．已知如图：△ABC中，∠ABC的三等分线与∠ACB的三等分线分别相交于G₁，G₂，
（1）若∠A=75°，则∠BG₁C=145°；∠BG₂C=110°；
（2）试猜想：∠BG₁C与∠A的关系．∠BG₁C=120°+$\frac{1}{3}$∠A；
（3）试猜想：∠BG₂C与∠A的关系．∠BG₂C=60°+$\frac{2}{3}$∠A．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB=138°，再由角的三等分线可得G₂∠BC+∠G₂CB，即可求得∠BG₂C的度数；进一步在△BG₁C中，得出∠G₁BC+∠G₁CB，求得∠BG₁C；
（2）（3）由（1）得出结论直接猜想得出答案即可．

解答 解：（1）∵∠A=75°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-75°=105°，
∴∠G₂BC+∠G₂CB=$\frac{2}{3}$（∠ABC+∠ACB）°=70°，
∴∠BG₂C=180°-70°=110°．
∴∠G₁BC+∠G₁CB=$\frac{1}{3}$（∠ABC+∠ACB）=35°，
∴∠BG₁C=180°-35°=145°．
（2）∠BG₁C=180°-$\frac{1}{3}$（∠ABC+∠ACB）=180°-$\frac{1}{3}$（180°-∠A）=120°+$\frac{1}{3}$∠A；
∠BG₂C=180°-$\frac{2}{3}$（∠ABC+∠ACB）=180°-$\frac{2}{3}$（180°-∠A）=60°+$\frac{2}{3}$∠A．
故答案为：145°，110°（2）$120°+\frac{1}{3}∠A$（3）$60°+\frac{2}{3}∠A$．

点评 本题考查的是三角形内角和定理，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．