Question

8．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，把矩形纸片ABCD分别沿着CE，AF折叠，使点B，D分别落在对角线AC上的点B′，D′处．
（1）求证：△ADF≌△CBE；
（2）连接EF，试求EF的长；
（3）M，N分别是线段AB，CD上的两点，连接MN，MC，若MN∥EF，且△MCN为等腰三角形，求MC²+MN²+CN²的值．

Answer 1

分析 （1）由折叠的性质得出∠DAF=∠CAF=$\frac{1}{2}$∠DAC，∠BCE=∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACB，B′C=BC，∠CB′E=∠B，由矩形的性质得出∠D=∠B=90°，AB=DC=4，BC=AD=3，AD∥BC，证出∠DAF=∠BCE，由ASA证明△ADF≌△CBE即可；
（2）由勾股定理求出AC，得出AB′=2，设BE=x，则B′E=x，AE=4-x，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，设EF交AC于O，则OE=OF，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，求出OB′，由勾股定理求出OE，即可得出EF的长；
（3）分三种情况：①当CM=CN时，设FN=x，则CM=CN=x+$\frac{5}{2}$，BM=x+$\frac{3}{2}$，在Rt△BCM中，由勾股定理得出方程，解方程得出PN，不合题意舍去；
②当MC=MN=EF=$\sqrt{10}$时，在Rt△BCM中，由勾股定理求出BM，得出CN=2BM=2，即可得出结果；
③当CN=MN=$\sqrt{10}$时，得出ME=NF=$\sqrt{10}$-$\frac{5}{2}$，求出BM，由勾股定理求出MC²，即可得出结果．

解答 （1）证明：由折叠的性质得：∠DAF=∠CAF=$\frac{1}{2}$∠DAC，∠BCE=∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACB，B′C=BC，∠CB′E=∠B，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=90°，AB=DC=4，BC=AD=3，AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠DAF=∠BCE，
在△ADF和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠B}\\{AD=BC}\\{∠DAF=∠BCE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CBE（ASA）；
（2）解：∵∠B=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴AB′=AC-B′C=AC-BC=5-3=2，
设BE=x，则B′E=x，AE=4-x，
∵∠AB′E=180°-∠CB′E=180°-∠B=180°-90°=90°，
∴AB′²+B′E²=AE²，
即2²+x²=（4-x）²，
解得：x=$\frac{3}{2}$，
即BE=$\frac{3}{2}$，
设EF交AC于O，如图1所示：
则OE=OF，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×5=$\frac{5}{2}$，
∴OB′=$\frac{5}{2}$-2=$\frac{1}{2}$，
∴OE=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴EF=2OE=$\sqrt{10}$；
（3）解：分三种情况：①当CM=CN时，如图2所示：
由（2）得：BE=$\frac{3}{2}$，CF=AE=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
设FN=x，则CM=CN=x+$\frac{5}{2}$，BM=x+$\frac{3}{2}$，
在Rt△BCM中，由勾股定理得：BC²+BE²=MC²，
即3²+（x+$\frac{3}{2}$）²=（x+$\frac{5}{2}$）²，
解得：x=$\frac{5}{2}$（不合题意，舍去）；
②当MC=MN=EF=$\sqrt{10}$时，如图3所示：
在Rt△BCM中，BM=$\sqrt{M{C}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{10-{3}^{2}}$=1，
∴CN=2BM=2，
∴MC²+MN²+CN²=（$\sqrt{10}$）²+（$\sqrt{10}$）²+2²=24；
③当CN=MN=$\sqrt{10}$时，如图4所示：
ME=NF=$\sqrt{10}$-$\frac{5}{2}$，
∴BM=$\sqrt{10}$-$\frac{5}{2}$+$\frac{3}{2}$=$\sqrt{10}$-1，
∴MC²=BC²+BM²=3²+（$\sqrt{10}$-1）²=9+11-2$\sqrt{10}$=20-2$\sqrt{10}$，
∴MC²+MN²+CN=20-2$\sqrt{10}$+10+10=40-2$\sqrt{10}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）中，需要进行分类讨论才能得出结果．