Question

7．如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，BC=$2\sqrt{2}$，求S_△ABC的值．

Answer 1

分析 首先过点C作CD⊥AB，垂足为D，解Rt△CDB，求出CD=BD=2，再解Rt△ACD，求出AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，那么AB=AD+BD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+2，然后根据S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD，计算即可求解．

解答 解：过C作CD⊥AB，垂足为D．
在Rt△CDB中，sin∠B=$\frac{CD}{BC}$，cos∠B=$\frac{BD}{BC}$．
∵∠B=45°，BC=$2\sqrt{2}$，
∴$CD=2\sqrt{2}×sin{45°}=2\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=2$，$BD=2\sqrt{2}×cos{45°}=2\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=2$．
在Rt△ACD中，cot∠A=$\frac{AD}{CD}$．
∵∠A=60°，CD=2，
∴$AD=2×cot{60°}=2×\frac{{\sqrt{3}}}{3}=\frac{2}{3}\sqrt{3}$，
∴$AB=AD+BD=\frac{2}{3}\sqrt{3}+2$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×（\frac{2}{3}\sqrt{3}+2）×2=\frac{2}{3}\sqrt{3}+2$．

点评 此题考查了解直角三角形，三角形的面积，熟练应用锐角三角函数的定义是解题的关键．