Question

已知在矩形ABCD中，P是边AD上的一动点，联结BP、CP，过点B作射线交线段CP的延长线于点E，交边AD于点M，且使得∠ABE=∠CBP，如果AB=2，BC=5，AP=x，PM=y；
（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）当AP=4时，求∠EBP的正切值；
（3）如果△EBC是以∠EBC为底角的等腰三角形，求AP的长．

Answer 1

考点：相似形综合题,等腰三角形的性质,勾股定理,矩形的性质,锐角三角函数的定义

专题：综合题

分析：（1）易证△ABM∽△APB，然后根据相似三角形的性质就可得到y关于x的函数解析式，由P是边AD上的一动点可得0≤x≤5，再由y＞0就可求出该函数的定义域；
（2）过点M作MH⊥BP于H，由AP=x=4可求出MP、AM、BM、BP，然后根据面积法可求出MH，从而可求出BH，就可求出∠EBP的正切值；
（3）可分EB=EC和CB=CE两种情况讨论：①当EB=EC时，可证到△AMB≌△DPC，则有AM=DP，从而有x-y=5-x，即y=2x-5，代入（1）中函数解析式就可求出x的值；②当CB=CE时，可得到PC=EC-EP=BC-MP=5-y，在Rt△DPC中根据勾股定理可得到x与y的关系，然后结合y关于x的函数解析式，就可求出x的值．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=2，AD=BC=5，∠A=∠D=90°，AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC．
∵∠ABE=∠CBP，
∴∠ABM=∠APB．
又∵∠A=∠A，
∴△ABM∽△APB，
∴

AB

AP

=

AM

AB

，
∴

2

x

=

x-y

2

，
∴y=x-

4

x

．
∵P是边AD上的一动点，
∴0≤x≤5．
∵y＞0，
∴x-

4

x

＞0，
∴x＞2，
∴函数的定义域为2＜x≤5；

（2）过点M作MH⊥BP于H，如图．
∵AP=x=4，∴y=x-

4

x

=3，
∴MP=3，AM=1，
∴BM=

AB2+AM2

=

5

，BP=

AB2+AP2

=2

5

．
∵S_△BMP=

1

2

MP•AB=

1

2

BP•MH，
∴MH=

MP•AB

BP

=

3 5

5

，
∴BH=

BM2-MH2

=

4 5

5

，
∴tan∠EBP=

MH

BH

=

3

4

；

（3）①若EB=EC，
则有∠EBC=∠ECB．
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠EBC，∠DPC=∠ECB，
∴∠AMB=∠DPC．
在△AMB和△DPC中，

∠AMB=∠DPC ∠A=∠D AB=DC

，
∴△AMB≌△DPC，
∴AM=DP，
∴x-y=5-x，
∴y=2x-5，
∴x-

4

x

=2x-5，
解得：x₁=1，x₂=4．
∵2＜x≤5，
∴AP=x=4；
②若CE=CB，
则∠EBC=∠E．
∵AD∥BC，
∴∠EMP=∠EBC=∠E，
∴PE=PM=y，
∴PC=EC-EP=5-y，
∴在Rt△DPC中，
（5-y）²-（5-x）²=2²，
∴（10-x-y）（x-y）=4，
∴（10-x-x+

4

x

）（x-x+

4

x

）=4，
整理得：3x²-10x-4=0，
解得：x₃=

5+ 37

3

，x₄=

5- 37

3

（舍负）．
∴AP=x=

5+ 37

3

．
终上所述：AP的值为4或

5+ 37

3

．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、解一元二次方程、三角函数等知识，证到△ABM∽△APB是解决第（1）小题的关键，把∠EBP放到直角三角形中是解决第（2）小题的关键，运用勾股定理建立x与y的等量关系是解决第（3）小题的关键．