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【题目】如图,形如量角器的半圆O的直径DE-12cm,形如三角板的ABC中,∠ACB=90°tanABC= BC=12cm半圆O2cm/s的速度从左向右运动,在运动过程中,点DE始终在直线BC上。设运动时间为ts),当t=0s时,半圆OABC的左侧,OC=8cm

1)点C到直线AB的距离为 ________cm

2)当t= ________s)时,⊙OAC所在直线第一次相切;当t=________s)时,⊙OAC所在直线第二次相切;

3)当t为何值时,直线AB与半圆O所在的圆相切;

4)当ABC的一边所在直线与圆O相切时,若⊙OABC有重叠部分,直接写出重叠部分的面积。

【答案】16;(217;(3t4秒或16秒;(46π+9cm2

【解析】

1)由tanABC= 可知∠ABC=30°,再根据在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半,可知CF=AC=6

2)由题意可知,DE为⊙O的直径,即OE=6OC=8,所以EC=2,⊙OAC所在的直线第一次相切,即点C与点E重合,也就是t=1时;DC=DE+EC=14,⊙OAC所在的直线第二次相切,即点D与点E重合时,也就是t=7

3)此题有两种情况:第一种情况,直线AB与半圆O相切,即过点O的半径与AB所在的直线垂直,也就是CFAB,即点O与点C重合时,也就是t=4;第二种情况,直线Ab与半圆O相切,即点O运动到点B的右侧时,即过点O的半径与AB的延长线垂直,此时OC=24,也就是t=(24+8)÷2=16

4)此题有三种情况:第一种情况是⊙OAC第一次相切时,此时⊙OABC没有重叠部分;第二种情况是OAB相切时,此时重叠的部分为O的四分之一,即为9πcm2;第三种情况是OAC第二次相切时,此时⊙O的直径DEABC的边BC重合,重叠部分的面积等于BOG与扇形GOC的和,即6π+9cm2

1)由tanABC= 可知∠ABC=30°,再根据在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半,可知CF=AC=6

2)由题意可知,DE为⊙O的直径,即OE=6OC=8,所以EC=2,⊙OAC所在的直线第一次相切,即点C与点E重合,也就是t=1时;DC=DE+EC=14,⊙OAC所在的直线第二次相切,即点D与点E重合时,也就是t=7

3)解:如图2,过CCFABF 同理得:OF=6

当直线AB与半圆O所在的圆相切时,又∵圆心OAB的距离为6,半圆的半径为6

且圆心O又在直线BC上,∴OC重合,即当O点运动到C点时,半圆OABC的边AB相切,

此时,点O运动了8cm 所求运动时间t=8÷2=4

如图3,当点O运动到B点的右侧时,且OB=12,过OOQAB 交直线ABQ

RtQOB中,∠OBQ=30°,则OQ= OB=6,即OQ与半圆O所在的圆相切,此时点O运动了12+12+8=32cm 所求运动时间t=32÷2=16

综上所述,当t4秒或16秒时,直线AB与半圆O所在的圆相切

4)解:重叠部分的面积为/span>cm2或(6π+9 cm2 有两种情况:

①当半圆OAB边相切于F时,如图1,重叠部分的面积S= π×62=9π

②当半圆OAC相切于C时,如图4,连接OG

BC=DE=12,∴CD重合,EB重合,∵OG=OB ∴∠ABC=OGB=30°

∴∠COG=60°.过OOHABH OB=6,∴OH= OB=3

由勾股定理得:BH=3 ,∴BG=2BH=6 ,此时重叠部分的面积S= + ×6 ×3=6π+9

综上所述,重叠部分的面积为cm2或(6π+9 cm2

圆的综合题

解:(1)如图1,过CCFABF

RtBCF中,∵tanABC= ∴∠ABC=30°BC=12

CF= BC=6,故答案为:6

2)∵DE=12,∴OE=OD=6,∵OC=8,∴EC=8-6=2,∴t=2÷2=1

∴当t=1s时,⊙OAC所在直线第一次相切;∴DC=8+6=14,∴t=14÷2=7

∴当t=7s时,⊙OAC所在直线第二次相切;故答案为:17

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