Question

【题目】问题提出：将正m边形(m≥3)不断向外扩展，每扩展一个正m边形每条边上的点的个数(以下简称“点数”)就增加一个，则n个正m边形的点数总共有多少个？

问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取将一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：

探究一：n个正三角形的点数总共有多少个？

如图1﹣1，1个正三角形的点数总共有3个；如图1﹣2，2个正三角形的点数总共有6个；如图1﹣3，3个正三角形的点数总共有10个；…；n个正三角形的点数总共有　 　个．

探究二：n个正四边形的点数总共有多少个？

如图2﹣1，1个正四边形的点数总共有4个；如图2﹣2，2个正四边形的点数总共有9个；

如图2﹣3，连接AC，得到两个三角形△ABC和△ADC，这两个三角形相同之处在于，BC边与CD边都有相同个数的点，即4个点，并且与BC、CD平行的边上依次减少一个点直至顶点A，每个三角形都有10个点，两个三角形就是2×10个点．因为这两个三角形在AC上有4个点重合，所以3个正四边形的点数总共有2×10﹣4＝16(个)．

如图2﹣4，4个正四边形的点数总共有　 　个；……n个正四边形的点数总共有　 　个．

探究三：n个正五边形的点数总共有多少个？

类比探究二的方法，求4个正五边形的点数总共有多少个？并叙述你的探究过程．

n个正五边形的点数总共有　 　个．

探究四：n个正六边形的点数总共有　 　个．

问题解决：n个正m边形的点数总共有　 　个．

实际应用：若99个正m边形的点数总共有39700个，求m的值．

Answer 1

【答案】探究一：；探究二：25，(n+1)2；探究三：(n+1)(3n+2)；探究四：(n+1)(2n+1)；问题解决：；实际应用：m=10

【解析】

探究一：n个正三角形的点数总个数是前(n+1)个数的和；

探究二：4，9，16，25…，发现n个正四边形的点数总共有(n+1)2个；

探究三：如图3﹣1，直接数点的个数为5个，如图3﹣2，连接AC，AD，得到三个三角形，每个三角形都有6个点，就是3×6＝18个点，因为每两个三角形有3个点重合，所以，2个正五边形的点数总共有：3×6﹣2×3＝12个；同理得如图3﹣3，3个正五边形的点数总共有：3×10﹣2×4＝22个；如图3﹣4，4个正五边形的点数总共有：3×15﹣2×5＝35个，确定规律得：n个正五边形的点数总共有：个；

探究四：如图3﹣1，直接数点的个数为6个，如图4﹣2，连接A'C'，A'D'，A'E'，得到4个三角形，每个三角形都有1+2+3＝6个点，就是24个点，因为每两个三角形有3个点重合，所以，2个正五边形的点数总共有：4×6﹣3×3＝15个；同理得点的个数依次为：28，45＝5×9，…，(n+1)(2n+1)个；

问题解决：根据以上规律可得结论；

实际应用：将n＝99代入问题解决的等式中解方程即可．

解：探究一：

如图1﹣1，1个正三角形的点数总共有3个，即3＝1+2；

如图1﹣2，2个正三角形的点数总共有6个，即6＝1+2+3；

如图1﹣3，3个正三角形的点数总共有10个，即10＝1+2+3+4；

…；

n个正三角形的点数总共有：个；

故答案为：；

探究二：

如图2﹣1，1个正四边形的点数总共有4个，即4＝22；

如图2﹣2，2个正四边形的点数总共有9个，即9＝32；

如图2﹣3，连接AC，得到两个三角形△ABC和△ADC，这两个三角形相同之处在于，BC边与CD边都有相同个数的点，即4个点，并且与BC、CD平行的边上依次减少一个点直至顶点A，每个三角形都有10个点，两个三角形就是2×10个点．因为这两个三角形在AC上有4个点重合，所以3个正四边形的点数总共有2×10﹣4＝16(个)，即16＝42；

如图2﹣4，连接AC，得到两个三角形△ABC和△ADC，这两个三角形相同之处在于，BC边与CD边都有相同个数的点，即5个点，并且与BC、CD平行的边上依次减少一个点直至顶点A，每个三角形都有15个点，两个三角形就是2×15个点．因为这两个三角形在AC上有5个点重合，所以4个正四边形的点数总共有2×15﹣5＝25(个)，即25＝52；

∴n个正四边形的点数总共有个；

故答案为：25，(n+1)2；

探究三：

如图3﹣1，1个正五边形的点数总共有5个，即；

如图3﹣2，连接AC，AD，得到三个三角形，每个三角形都有6个点，就是3×6＝18个点，因为每两个三角形有3个点重合，所以，2个正五边形的点数总共有：3×6﹣2×3＝12个，即；

如图3﹣3，连接A'C'，A'D'，得到三个三角形，每个三角形都有10个点，就是3×10＝30个点，因为每两个三角形有4个点重合，所以，3个正五边形的点数总共有：3×10﹣2×4＝22个，即；

如图3﹣4，连接AC，AD，得到三个三角形，每个三角形都有15个点，就是3×15＝45个点，因为每两个三角形有5个点重合，所以，4个正五边形的点数总共有：3×15﹣2×5＝35个，即；

…

同理得：n个正五边形的点数总共有：(n+1)(3n+2)个；

故答案为：(n+1)(3n+2)；

探究四：

如图4﹣1，1个正六边形的点数总共有6个，即6＝2×3；

如图4﹣2，连接A'C'，A'D'，A'E'，得到4个三角形，每个三角形都有6个点，就是4×6＝24个点，因为每两个三角形有3个点重合，所以，2个正六边形的点数总共有：4×6﹣3×3＝15个，即15＝3×5；

如图4﹣3，连接AC，AD，AE，得到4个三角形，每个三角形都有10个点，就是4×10＝40个点，因为每两个三角形有4个点重合，所以，3个正六边形的点数总共有：4×10﹣3×4＝28个，即28＝4×7；

…

同理得：4个六五边形的点数总共有：5×9＝45个；

n个正六边形的点数总共有：(n+1)(2n+1)个；

故答案为：(n+1)(2n+1)；

问题解决：

∵n个正三角形的点数总共有：(n+1)(n+1)个；

n个正四边形的点数总共有：(n+1)(n+1)个；

n个正五边形的点数总共有：(n+1)(n+1)个；

n个正六边形的点数总共有：(n+1)(2n+1)个；

…

∴n个正m边形的点数总共有：个；

故答案为：；

实际应用：

由规律得：n＝99时，，

解得：m＝10．