已知抛物线C1:y=x2+bx+c的顶点为P.与y轴交于点A.与直线OP交于点B．(1)如图1.若点P的横坐标为1.点B的坐标为(3.6).求抛物线C1的解析式,中的抛物线C1沿y轴向下平移3个单位长度.然后再向右平移m个单位长度得到抛物线C2.抛物线C2与x轴交于点C.D.连PD(点P是抛物线C1的顶点)并过点C作CN∥PD交y轴交于点N.若tan∠CNP=2.求抛物线C2� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知抛物线C₁：y=x²+bx+c的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B．
（1）如图1，若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6），求抛物线C₁的解析式；
（2）将（1）中的抛物线C₁沿y轴向下平移3个单位长度，然后再向右平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线C₂，抛物线C₂与x轴交于点C、D（点C在点D的左侧），连PD（点P是抛物线C₁的顶点）并过点C作CN∥PD交y轴交于点N，若tan∠CNP=2，求抛物线C₂的解析式；
（3）如图2，若点P在第一象限，且PA=PO，过点P作PE⊥x轴于点E，将抛物线y=x²+bx+c平移，平移后所得抛物线C₃经过点A、E，设抛物线C₃与x轴的另一交点为F，请探究四边形OABF的形状，并说明理由．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）首先求出b的值，然后把b=-2及点B（3，6）的坐标代入抛物线解析式y=x²+bx+c求出c的值，抛物线的解析式即可求出；
（2）先根据平移的性质得到抛物线C₂的解析式为y=（x-m）²+2-3=（x-m）²-1，再根据tan∠CNP=2，由三角函数即可求解；
（3）由PA=PO，OA=c，可得PD=

，又知抛物线y=x²+bx+c的顶点坐标为 P（-

，

4c-b2

），即可求出b和c的关系，进而得到A（0，

b²），P（-

b，

b²），D（-

b，0），根据B点是直线与抛物线的交点，求出B点的坐标，由平移后的抛物线经过点A，可设平移后的抛物线解析式为y=x²+mx+

b²，再求出b与m之间的关系，再求出C点的坐标，根据两对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合∠AOC=90°即可证明四边形OABC是矩形．

解答：解：（1）依题意，-

2×1

=1，
解得b=-2．
将b=-2及点B（3，6）的坐标代入抛物线解析式y=x²+bx+c得6=3²-2×3+c．
解得 c=3．
所以抛物线的解析式为y=x²-2x+3．

（2）∵将（1）中的抛物线C₁沿y轴向下平移3个单位长度，然后再向右平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线C₂，
∴y=（x-m）²+2-3=（x-m）²-1，
∵tan∠CNP=2，
∴y=x²-（2+2

）x+5+2

．

（3）如图2，由 PA=PO，OA=c，可得PD=

．
∵抛物线y=x²+bx+c的顶点坐标为 P（-

，

4c-b2

），
∴

4c-b2

∴b²=2c．
∴抛物线y=x²+bx+

b²，A（0，

b²），P（-

b，

b²），D（-

b，0）．
可得直线OP的解析式为y=-

bx．
∵点B是抛物线y=x²+bx+

b²与直线y=-

bx的图象的交点，
令-

bx=x²+bx+

b²．
解得x₁=-b，x₂=-

．
可得点B的坐标为（-b，

b²）．
由平移后的抛物线经过点A，可设平移后的抛物线解析式为y=x2+mx+

b²．
将点D（-

b，0）的坐标代入y=x²+mx+

b²，得m=

b．
则平移后的抛物线解析式为y=x²+

bx+

b²．
令y=0，即x²+

bx+

b²=0．
解得x₁=-b，x₂=-

b．
依题意，点C的坐标为（-b，0）．
则BC=

b²．
则BC=OA．
又∵BC∥OA，
∴四边形OABC是平行四边形．
∵∠AOC=90°，
∴四边形OABC是矩形．

点评：本题主要考查二次函数的综合题的知识，此题涉及抛物线解析式的求法，抛物线顶点与对称轴的求法以及矩形的判定，特别是第三问设计到平移的知识，同学们作答时需认真，此题难度较大．

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