Question

【题目】（1）如图①，E是正方形ABCD的边BC上任意一点，过点A作FA⊥AE于A，与CD的延长线交于点F，求证：AE＝AF；

（2）如图②，当点E是正方形ABCD的边BC延长线上的任意一点时，过点A作FA⊥AE于A，交CD的延长线于点F．结论AE＝AF是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）结论AE＝AF仍成立，见解析

【解析】

（1）由∠BAE+∠DAE＝90°，∠FAD+∠DAE＝90°，得出∠BAE＝∠FAD，由ASA证得△ABE≌△ADF即可得出结论；

（2）结论AE＝AF仍成立；理由：由∠BAE+∠DAE＝90°，∠FAD+∠DAE＝90°，得出∠BAE＝∠FAD，由ASA证得△ABE≌△ADF即可得出结论．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠ABE＝90，∠BAD＝90，即∠BAE+∠DAE＝90，

∵FA⊥AE，

∴∠ADF＝90，∠EAF＝90，即∠FAD+∠DAE＝90，

∴∠BAE＝∠FAD，

在△ABE和△ADF中，，

∴△ABE≌△ADF（ASA），

∴AE＝AF；

（2）解：结论AE＝AF仍成立；理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠ABE＝90，∠BAD＝90，即∠BAE+∠DAE＝90，

∵FA⊥AE，

∴∠ADF＝90，∠EAF＝90，即∠FAD+∠DAE＝90，

∴∠BAE＝∠FAD，

在△ABE和△ADF中，，

∴△ABE≌△ADF（ASA），

∴AE＝AF．