Question

已知AE⊥AB，DA⊥AC，AE=AB，AD=AC．直线MN过点A，交DE、BC于点M、N．
（1）若AM是△EAD中线，求证：AN⊥BC；
（2）若AN⊥BC，求证：EM=DM．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）延长AM至F，使MF=AM，然后利用“边角边”证明△EMF和△DMA全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAM=∠F，全等三角形对应边相等可得EF=AD，然后根据同角的补角相等求出∠BAC=∠AEF，再利用“边角边”证明△ABC和△EAF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EAF=∠B，再求出∠ANB=90°，从而得证；
（2）过点E作EF∥AD交AM的延长线于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠F=∠DAM，根据同角的余角相等求出∠EAF=∠B，然后求出∠BAC=∠AEF，再利用“角角边”证明△ABC和△EAF全等，根据全等三角形对应边可得EF=AC，然后求出EF=AD，再利用“角角边”证明△EFM和△DAM全等，根据全等三角形对应边相等可得EM=DM．

解答：证明：（1）如图，延长AM至F，使MF=AM，
∵AM是△EAD中线，
∴EM=DM，
在△EMF和△DMA中，

EM=DM ∠EMF=∠AMD MF=AM

，
∴△EMF≌△DMA（SAS），
∴∠DAM=∠F，EF=AD，
∵AD=AC，
∴EF=AC，
∵AE⊥AB，DA⊥AC，
∴∠BAC=360°-90°×2-∠DAE=180°-∠DAE，
∵∠AEF=180°-∠F-∠EAM=180°-∠DAM-∠EAM=180°-∠DAE，
∴∠BAC=∠AEF，
在△ABC和△EAF中，

EF=AC ∠BAC=∠AEF AB=AE

，
∴△ABC≌△EAF（SAS），
∴∠EAF=∠B，
∵AE⊥AB，
∴∠EAF+∠BAN=90°，
∴∠B+∠BAN=90°，
在△ABN中，∠ANB=180°-（∠B+∠BAN）=180°-90°=90°，
∴AN⊥BC；

（2）如图，过点E作EF∥AD交AM的延长线于F，
则∠F=∠DAM，
∵DA⊥AC，
∴∠DAM+∠CAN=90°，
∵AN⊥BC，
∴∠CAN+∠C=90°，
∴∠F=∠DAM=∠C，
∵AE⊥AB，DA⊥AC，
∴∠BAC=360°-90°×2-∠DAE=180°-∠DAE，
∵∠AEF=180°-∠F-∠EAM=180°-∠DAM-∠EAM=180°-∠DAE，
∴∠BAC=∠AEF，
在△ABC和△EAF中，

∠BAC=∠AEF ∠F=∠C AB=AE

，
∴△ABC≌△EAF（AAS），
∴EF=AC，
∵AD=AC，
∴EF=AD，
在△EFM和△DAM中，

∠F=∠DAM ∠EMF=∠DMA EF=AD

，
∴△EFM≌△DAM（AAS），
∴EM=DM．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，同角的补角相等的性质，难点在于作辅助线构造出全等三角形并二次证明三角形全等．