Question

试确定一切有理数r，使关于x的二次方程rx²+（r+2）x+3r-2=0有根且只有整数根，求r的值．

Answer 1

考点：一元二次方程的整数根与有理根

专题：

分析：由于方程的类型已经确定，则r≠0，由根与系数关系得到关于r的两个等式，利用因式（数）分解先求出方程两整数根．

解答：解：由题意可得：
r≠0时，因为方程有整数根，所以两根之和为整数，两根之积也为整数，
而x₁+x₂=

-(r+2)

r

=-1-

2

r

，
x₁x₂=

3r-2

r

=3-

2

r

，
所以-1-

2

r

，3-

2

r

都应该是整数，
所以r是2的因数，而2的因数有±1，±2，
所以r=±1或r=±2，当r=1或2时，方程没有实数根，所以不合题意，舍去；
而当r=-1时，方程变为-x²+x-5=0，方程有实数根，但不是整数，不符合题意，舍去；
当r=-2时，方程变为-2x²-8=0，
解得：x=±2，符合题意；
综合以上得r=-2．

点评：本题主要考查了一元二次方程的整数根与有理根．在解答此题时，利用了一元二次方程的根与系数的关系．