Question

【题目】矩形ABCO中，O（0，0），C（0，3），A（a，0），（a≥3），以A为旋转中心顺时针旋转矩形ABCO得到矩形AFED．

（1）如图1，当点D落在边BC上时，求BD的长（用a的式子表示）；

（2）如图2，当a＝3时，矩形AFED的对角线AE交矩形ABCO的边BC于点G，连结CE，若△CGE是等腰三角形，求直线BE的解析式；

（3）如图3，矩形ABCO的对称中心为点P，当P，B关于AD对称时，求出a的值，此时在x轴、y轴上是否分别存在M，N使得四边形EFMN为平行四边形，若存在直接写出M，N坐标，不存在说明理由．

Answer 1

【答案】（1）BD＝；（2）y＝﹣x+6；（3）M（，0），N（0，）

【解析】

（1）如图1，当点D落在边BC上时，BD2=AD2-AB2，即可求解；

（2）分CG=EG、CE=GE、CE=CG三种情况分别求解；

（3）①由点P为矩形ABCO的对称中心，得到求得直线PB的解析式为，得到直线AD的解析式为：，解方程即可得到结论；②根据①中的结论得到直线AD 的解析式为，求得∠DAB=30°，连接AE，推出A，B，E三点共线，求得，设M（m，0），N（0，n），解方程组即可得到结论．

（1）如图1，

在矩形ABCO中，∠B＝90°

当点D落在边BC上时，BD2＝AD2﹣AB2，

∵C（0，3），A（a，0）

∴AB＝OC＝3，AD＝AO＝a，

∴BD＝；

（2）如图2，连结AC，

∵a＝3，∴OA＝OC＝3，

∴矩形ABCO是正方形，∴∠BCA＝45°，

设∠ECG的度数为x，

∴AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE＝45°+x，

①当CG＝EG时，x＝45°+x，

解得x＝0，不合题意，舍去；

②当CE＝GE时，如图2，

∠ECG＝∠EGC＝x

∵∠ECG+∠EGC+∠CEG＝180°，

∴x+x+（45°+x）＝180°，解得x＝45°，

∴∠AEC＝∠ACE＝90°，不合题意，舍去；

③当CE＝CG时，∠CEG＝∠CGE＝45°+x，

∵∠ECG+∠EGC+∠CEG＝180°，

∴x+（45°+x）+（45°+x）＝180°，解得x＝30°，

∴∠AEC＝∠ACE＝75°，∠CAE＝30°

如图3，连结OB，交AC于点Q，过E作EH⊥AC于H，连结BE，

∴EH＝AE＝AC，BQ＝AC，

∴EH＝BQ，EH∥BQ且∠EHQ＝90°

∴四边形EHQB是矩形

∴BE∥AC，

设直线BE的解析式为y＝﹣x+b，

∵点B（3，3）在直线上，则b＝6，

∴直线BE的解析式为y＝﹣x+6；

（3）①∵点P为矩形ABCO的对称中心，

∴，

∵B（a，3），

∴PB的中点坐标为：，

∴直线PB的解析式为，

∵当P，B关于AD对称，

∴AD⊥PB，

∴直线AD的解析式为：，

∵直线AD过点，∴，

解得：a＝±3，

∵a≥3，

∴a＝3；

②存在M，N；

理由：∵a＝3，

∴直线AD 的解析式为y＝﹣x+9，

∴∴∠DAO＝60°，

∴∠DAB＝30°，

连接AE，

∵AD＝OA＝3，DE＝OC＝3，

∴∠EAD＝30°，

∴A，B，E三点共线，

∴AE＝2DE＝6，

∴，

设M（m，0），N（0，n），

∵四边形EFMN是平行四边形，

∴，

解得：，

∴M（，0），N（0，）．