Question

1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，将△ABC沿直线BC方向平移2.5个单位得到△DEF，AC与DE相交于G点，连接AD，AE，则下列结论：
①△AGD≌△CGE；②△ADE为等腰三角形；③AC平分∠EAD；④四边形AEFD的面积为9．
其中正确的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由平移的性质得出AD∥BE，AD=BE=2.5，由勾股定理求出BC，得出CE=AD，由平行线得出∠DAG=∠ECG，根据AAS即可证明△AGD≌△CGE，得出①正确；
由直角三角形斜边上的中线性质得出AE=$\frac{1}{2}$BC=CE，得出AE=AD，②正确；
由AE=CE，得出∠EAC=∠ECG，证出∠EAC=∠DAG，得出③正确；
作AH⊥BC于H，由三角形的面积关系求出AH，由梯形的面积公式即可求出四边形AEFD的面积，得出④正确．

解答 解：由平移的性质得：AD∥BE，AD=BE=2.5，
∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴CE=2.5，
∴AD=CE，
∵AD∥BE，
∴∠DAG=∠ECG，
在△AGD和△CGE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAG=∠ECG}&{\;}\\{∠AGD=∠CGE}&{\;}\\{AD=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AGD≌△CGE（AAS），
∴①正确；
∵∠BAC=90°，BE=CE，
∴AE=$\frac{1}{2}$BC=CE=2.5，
∴AE=AD，
∴△ADE为等腰三角形，
∴②正确；
∵AE=CE，
∴∠EAC=∠ECG，
∵∠DAG=∠ECG，
∴∠EAC=∠DAG，
∴AC平分∠EAD，
∴③正确；
作AH⊥BC于H，如图所示：
∵△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC•AH=$\frac{1}{2}$AB•AC，
∴AH=$\frac{AB•AC}{BC}$=$\frac{12}{5}$，
∴四边形AEFD的面积=$\frac{1}{2}$（AD+EF）×AH=$\frac{1}{2}$（2.5+5）×$\frac{12}{5}$=9，
∴④正确；
正确的个数有4个，
故选：D．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、平移的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、面积的计算；熟练掌握平移的性质和全等三角形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．