Question

如图，AB是⊙O的直径，MN是弦，AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，AB=10，连EO并延长交BF于S．
（1）证明：AE=BS；
（2）若MN=8，求BF-AE的值．

Answer 1

考点：垂径定理,全等三角形的判定与性质,梯形中位线定理

专题：

分析：（1）由平行可知∠SBO=∠EAO，结合条件可证明△AOE≌△BOS，可得AE=BS；
（2）连接OM，过O作OH⊥MN于点H，则可知OH为△EFS的中位线，且在Rt△OHM中可求得OH=3，则可得FS=2OH=6，结合（1）可得BF-AE=BF-BS=FS=6．

解答：（1）证明：∵AE⊥MN，BF⊥MN，
∴AE∥BF，
∴∠OAE=∠OBS，
在△OAE和△OBS中，

∠OAE=∠OBA ∠AOE=∠BOS AO=BO

，
∴△OAE≌△OBS（AAS），
∴AE=BS；
（2）解：如图，连接OM，过O作OH⊥MN于点H，

则MH=

1

2

MN=4，且AB=10，可得OM=5，
在Rt△OMH中，由勾股定理可得OH=3，
又由（1）可知△OAE≌△OBS，
∴OE=OS，
∴O为ES中点，
∴OH为△EFS的中位线，
∴FS=2OH=6，
∴BF-AE=BF-BS=FS=6．

点评：本题主要考查垂径定理及全等三角形的判定和性质，掌握过圆心垂直弦的直径平分弦是解题的关键．