Question

如图，反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（4，1）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若点P（m，n）在函数y=

k

x

的图象上，求当1≤m≤4时，函数值n的取值范围；
（3）在（2）的条件下，直线PC⊥x轴于点C，交直线AB于点N，分别过点P、N作y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设四边形PNFE的面积为S，求S关于m的函数解析式．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）根据待定系数法，可得一次函数的解析式；
（2）根据反比例函数的性质，可得答案；
（3）根据PC⊥x轴于点C，交直线AB于点N，可得N点坐标，根据线段的和差，可得PB的长，根据矩形的面积公式，可得答案．

解答：解：（1）一次函数y=ax+b的图象过点A（1，4）和点B（4，1）两点，得

k+b=4 4k+b=1

，解得

k=-1 b=5

，
一次函数的解析式y=-x+5；
（2）反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象过点A（1，4），得
k=1×4=4，
反比例函数的解析式为y=

4

x

（x＞0），
由k=4＞0，y随x的增大而减小，得
当m=4时，n_最小=

4

4

=1，
当m=1时，n_最大=

4

1

=4，
答：当1≤m≤4时，函数值n的取值范围是1≤n≤4；
（3）如图：，
P在反比例函数y=

4

x

的图象上（1≤m≤4），得P点坐标是（m，

1

m

），
直线PC⊥x轴于点C，交直线AB于点N，得N点的横坐标是m，
当x=m时，y=-m+5，即N点的坐标是（m，5-m）．
PN=N_y-P_y=5-m-

1

m

．
由矩形的面积公式，得
S=PE•PN=m（5-m-

1

m

）=-m²+5m-1  （1≤m≤4）

点评：本题考查了反比例函数的综合题，利用了待定系数法求解析式，反比例函数的增减性，矩形的面积公式．