Question

18．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）用含t的代数式表示BP、BQ；
（2）是否存在某一时刻t的值，使△BPQ的面积是△BAC面积的$\frac{1}{4}$；
（3）若以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值．

Answer 1

分析 （1）直接用t表示出BP、BQ即可；
（2）作PD⊥BC于D，证得△BDF∽△BCA，进一步用t表示PD，利用三角形的面积建立方程求得答案即可；
（3）分两种情况讨论：当△BPQ∽△BAC时，当△BPQ∽△BCA时，再根据性质以及BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可．

解答 解：（1）BP=5t，BQ=8-4t，

（2）如图，

∵AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10cm，
作PD⊥BC于D，
∴∠BPD=∠C=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BPD∽△BCA，
∴$\frac{BP}{BA}$=$\frac{PD}{AC}$，
∴$\frac{5t}{10}$=$\frac{PD}{6}$，
∴PD=3t，
∴$\frac{1}{2}$×（8-4t）×3t=$\frac{1}{2}$×8×6×$\frac{1}{4}$
解得：t₁=t₂=1，
当t=1时，使△BPQ的面积是△BAC面积的$\frac{1}{4}$；

（3）①当△BPQ∽△BAC时，
∵$\frac{BP}{BA}$=$\frac{BQ}{BC}$，BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，
∴$\frac{5t}{10}$=$\frac{8-4t}{8}$，
∴t=1；
②当△BPQ∽△BCA时，
∵$\frac{BP}{BC}$=$\frac{BQ}{BA}$，
∴$\frac{5t}{8}$=$\frac{8-4t}{10}$，
∴t=$\frac{32}{41}$，
∴t=1或$\frac{32}{41}$时，△BPQ与△ABC相似．

点评 本题考查了，一元二次方程的实际运用，相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．也考查了分类讨论的思想和利用代数法解决动点问题．