Question

9．观察下列各式：
$\frac{1}{6}=\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$
$\frac{1}{12}=\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$
$\frac{1}{20}=\frac{1}{4×5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$
$\frac{1}{30}=\frac{1}{5×6}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$
（1）由此可推测$\frac{1}{42}$=$\frac{1}{6}$$-\frac{1}{7}$；
（2）试猜想此类式子的一般规律．用含字母m的等式表示出来．并说明理由（m表示整数）；
（3）请直接用（2）中的规律计算$\frac{1}{（x-2）（x-3）}-\frac{2}{（x-1）（x-3）}+\frac{1}{（x-1）（x-2）}$的值．

Answer 1

分析 （1）由已知各等式的规律可以总结得出$\frac{1}{42}$=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{7}$；
（2）由已知各等式的规律可以总结得出，再根据分式通分可以计算证明结论：$\frac{1}{m（m+1）}$=$\frac{1}{m}$-$\frac{1}{m+1}$；
（3）由（2）总结规律可以容易求出各式运算结果得零．

解答 解：（1）$\frac{1}{42}$=$\frac{1}{6×7}$=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{7}$
∴$\frac{1}{42}$=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{7}$

（2）猜想：$\frac{1}{m（m+1）}$=$\frac{1}{m}$-$\frac{1}{m+1}$．

理由如下：$\frac{1}{m}$-$\frac{1}{m+1}$=$\frac{m+1}{m（m+1）}$-$\frac{m}{m（m+1）}$=$\frac{m+1-m}{m（m+1）}$=$\frac{1}{m（m+1）}$

（3）原式=$\frac{1}{x-3}$-$\frac{1}{x-2}$-（$\frac{1}{x-3}$-$\frac{1}{x-1}$）+$\frac{1}{x-2}$-$\frac{1}{x-1}$=0

点评 本题属于规律型题目，主要考察分式或分数的变形应用，可以很好的考察学生发现问题、总结问题、解决问题的能力．