Question

定义：底与腰的比是的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．

如图，已知△ABC中，AB=BC，∠C=36°，BA₁平分∠ABC交AC于A₁．

（1）证明：AB²=AA₁•AC；

（2）探究：△ABC是否为黄金等腰三角形？请说明理由；（提示：此处不妨设AC=1）

（3）应用：已知AC=a，作A₁B₁∥AB交BC于B₁，B₁A₂平分∠A₁B₁C交AC于A₂，作A₂B₂∥AB交B₂，B₂A₃平分∠A₂B₂C交AC于A₃，作A₃B₃∥AB交BC于B₃，…，依此规律操作下去，用含a，n的代数式表示A_n﹣1A_n．（n为大于1的整数，直接回答，不必说明理由）

Answer 1

解答：  （1）证明：∵AC=BC，∠C=36°，

∴∠A=∠ABC=72°，

∵BA₁平分∠ABC，

∴∠ABA₁=∠ABC=36°，

∴∠C=∠ABA₁，

又∵∠A=∠A，

∴△ABC∽△AA₁B，

∴=，即AB²=AA₁•AC；

（2）解：△ABC是黄金等腰三角形，

理由：由（1）知，AB²=AC•AA₁，

设AC=1，

∴AB²=AA₁，

又由（1）可得：AB=A₁B，

∵∠A₁BC=∠C=36°，

∴A₁B=A₁C，

∴AB=A₁C，

∴AA₁=AC﹣A₁C=AC﹣AB=1﹣AB，

∴AB²=1﹣AB，

设AB=x，即x²=1﹣x，

∴x²+x﹣1=0，

解得：x₁=，x₂=（不合题意舍去），

∴AB=，

又∵AC=1，

∴=，

∴△ABC是黄金等腰三角形；

（3）解：由（2）得；当AC=a，则AA₁=AC﹣A₁C=AC﹣AB=a﹣AB=a﹣a=a，

同理可得：A₁A₂=A₁C﹣A₁B₁=AC﹣AA₁﹣A₁B₁

=a﹣a﹣A₁C

=a﹣a﹣[a﹣a]

=（）³a．

故A_n﹣1A_n=a．