Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+2x的对称轴与x轴交于点A，点F在抛物线的对称轴上，且点F的纵坐标为．过抛物线上一点P（m，n）向直线y=作垂线，垂足为M，连结PF．

（1）当m=2时，求证：PF=PM；

（2）当点P为抛物线上任意一点时，PF=PM是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）点P为抛物线y=﹣x2+2x上任意一点都有PF=PM

【解析】试题分析：当时，求出的值，此时点P为抛物线与轴的右交点．求出

过点P作于点B．分点B与点F重合和点B与点F不重合两种情况进行讨论.

试题解析：（1）当时，

∴此时点P为抛物线与轴的右交点．

垂直直线

的对称轴为直线x=1，点F的纵坐标为

在中，

．　　

（2）仍然成立．理由如下：

过点P作于点B．

当点B与点F重合时，

解得，或

当点B与点F不重合时，如图．

在中，

∵点在抛物线上，

垂直直线

综上，点P为抛物线上任意一点都有．