Question

【题目】如图，在△ABC中，AC⊥BC，AC=BC，延长BC至E使BE=BA，过点B作BD⊥AE于点D，BD与AC交于点F，连接EF．

(1)求证：△ACE≌△BCF.

(2)求证：BF=2AD，

(3)若CE=，求AC的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)2+.

【解析】

（1）由△ABC是等腰直角三角形，得到AC=BC，∠FCB=∠ECA=90°，由于AC⊥BE，BD⊥AE，根据垂直的定义得到∠CBF+∠CFB=90°，∠DAF+∠AFD=90°，由于∠CFB=∠AFD，于是得到∠CBF=∠CAE，证得△BCF≌△ACE；

（2）由（1）得出AE=BF，由于BE=BA，BD⊥AE，于是得到AD=ED，即AE=2AD，即可得到结论；

（3）由（1）知△BCF≌△ACE，推出CF=CE=，在Rt△CEF中，EF==2，由于BD⊥AE，AD=ED，求得AF=FE=2，于是结论即可．

(1)∵AC⊥BC，BD⊥AE

∴∠FCB=∠BDA=90°

∠CBF+∠CFB=90°，∠DAF+∠AFD=90°

∵∠CFB=∠AFD

∴∠CBF=∠CAE

∵AC=BC

∴△ACE≌△BCF

(2)由(1)知△ACE≌△BCF得AE=BF

∵BE=BA，BD⊥AE

∴AD=ED，即AE=2AD

∴BF=2AD

(3)由(1)知△ACE≌△BCF

∴CF=CE=

∴在Rt△CEF中，EF==2，

∵BD⊥AE，AD=ED，

∴AF=FE=2，

∴AC=AF+CF=2+．