Question

7．如图，正比例函数y=$\frac{1}{2}x$与反比例函数y=$\frac{k}{x}（k＞0）$的图象相交于A，B两点，过A点作AC⊥x轴，垂足为C，过B点作BD⊥x轴，垂足为D，已知点A的横坐标为2．
（1）求k的值；
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（3）P、Q两点是坐标轴上的动点（P为正半轴上的点，Q为负半轴上的点），当以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是矩形时，求P、Q两点的坐标．

Answer 1

分析 （1）把点A的横坐标代入正比例函数解析式可得点A的纵坐标，把点A的坐标代入反比例函数解析式即可求得k的值；
（2）易得四边形ABCD的对角线互相平分，那么是平行四边形；
（3）若以AB为边得到的矩形，P，Q两点不在坐标轴上；以AB为对角线得到的矩形，可以AB为直径画一个圆，看圆与坐标轴的交点即可．

解答 解：（1）∵点A的横坐标为2，由y=$\frac{1}{2}$x得y=1，
∴A（2，1），
∴k=2；

（2）∵A、O、B在一条直线上，A，B在反比例函数和正比例函数的交点处，
∴点A和点B关于点O中心对称，
∴AO=OB，OC=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形；

（3）∵以AB为边的四边形是矩形时，点P、Q分别在x轴和y轴上时，此时不可能；
∴只能以AB为矩形的对角线，此时P、Q分别在x轴的正、负半轴上或者在y轴的正、负半轴上．
∵OA=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴以O为圆心，$\sqrt{5}$为半径画圆与坐标轴的交点即为所求的点P（$\sqrt{5}$，0），Q（-$\sqrt{5}$，0）或者P（0，$\sqrt{5}$），Q（0，-$\sqrt{5}$）．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，用到的知识点为：点在函数解析式上，就适合这个函数解析式；正比例函数和反比例函数的交点关于原点对称；直径所对的圆周角是90°等知识．