Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AD＝3，E是AB上的一点，F是AD上的一点，连接BO和FO．

（1）当点E为AB中点时，求EO的长度；

（2）求线段AO的取值范围；

（3）当EO⊥FO时，连接EF．求证：BE+DF＞EF．

Answer 1

【答案】（1）；（2）1＜AO＜4；（3）见解析.

【解析】

（1） O是中点,E是中点，所以OE＝BC＝;

（2） 在△ACD中利用三角形的第三边长小于两边之和，大于两边只差;

（3） 延长FO交BC于G点，就可以将BE,FD,EF放在一个三角形中，利用三角形两边之和大于第三边即可.

（1）解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴BC＝AD＝3，OA＝OC，

∵点E为AB中点，

∴OE为△ABC的中位线，

∴OE＝BC＝；

（2）解：在△ABC中，∵AB﹣BC＜AC＜AB+BC，

而OA＝OC，

∴5﹣3＜2AO＜5+3，

∴1＜AO＜4；

（3）证明：延长FO交BC于G点，连接EG，如图，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴OB＝OD，BC∥AD，

∴∠OBG＝∠ODF，

在△OBG和△ODF中

，

∴△OBG≌△ODF，

∴BG＝DF，OG＝OF，

∵EO⊥OF，

∴EG＝EF，

在△BEG中，BE+BG＞EG，

∴BE+FD＞EF．