Question

如图，已知反比例函数y=

k

x

的图象经过第二象限内的点A（-2，2），若直线y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数y=

k

x

的图象上另一点B（m，-1），与x轴交于点m．
（1）求反比例函数y=

k

x

的解析式和直线y=ax+b的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）x轴是否存在一点P，使△PAO为等腰三角形？若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）将A坐标代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，把B坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入直线解析式求出a与b的值，即可确定出直线解析式；
（2）由直线解析式求出M坐标，确定出OM长，连接OA，OB，三角形AOB面积=三角形AOM面积+三角形BOM面积，求出即可；
（3）设存在P（p，0），利用两点间的距离公式变形出AP²，OP²，OA²，根据AP=OP，AP=OA，OP=OA三种情况分类讨论，求出P坐标即可．

解答：解：（1）将A（-2，2）代入y=

k

x

得：k=-4，
∴反比例函数解析式y=-

4

x

，
将y=-1代入反比例解析式得：x=4，即m=4，
∴B（4，-1），
将A（-2，2）与B（4，-1）代入y=ax+b得：

-2a+b=2 4a+b=-1

，
解得：a=-

1

2

，b=1，
∴直线解析式y=-

1

2

x+1；
（2）连接OA，OB，
对于直线y=-

1

2

x+1，令y=0，得到x=2，即M（2，0），OM=2，
则S_△AOB=S_△AOM+S_△BOM=

1

2

×2×2+

1

2

×2×1=2+1=3；
（3）假设存在点P（p，0）使得为等腰三角形，
AP²=（p+2）²+2²=p²+4p+8，AO²=8，PO²=p²，
若AP=AO，则有AP²=AO²，即p²+4p+8=8，
解得：p=-4或p=0（舍去），
此时P₁（-4，0）；
若AP=PO，则有AP²=PO²，p²+4p+8=p²，
解得：p=-2，
此时P₂（-2，0）；
若AO=PO，则有p²=8，
解得：p=±2

2

，
此时P₃（2

2

，0），P₄（-2

2

，0），
综上，P点坐标是（-4，0）；（-2，0）；（2

2

，0）；（-2

2

，0）．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，以及两点间的距离公式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．