Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣1，0）和点C （0，3）与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+3；（2）不存在，理由见解析；（3）⊙M的半径为或

【解析】

（1）已知抛物线y＝ax2+x+c经过点A(﹣1,0)和点C(0,3)，利用待定系数法即可求得抛物线解析式；

（2）在抛物线上找到一点Q，使得△QCO是等边三角形，过点Q作OM⊥OB于点M，过点Q作QN⊥OC于点N，根据△QCO是等边三角形，求得Q点坐标，再验证Q点是否在抛物线上；

（3）分两种情况①当⊙M与y轴相切，如图所示，令M点横坐标为t，PM=t，将PM用t表示出来，列出关于t的一元二次方程，求得t，进而求得半径；②⊙M与x轴相切，过点M作MN⊥OB于N，如图所示，令M点横坐标为m，因为PN=2MN，列出关于m的一元二次方程，即可求出m，进而求得⊙M的半径．

（1）∵抛物线y＝ax2+x+c经过点A(﹣1,0)和点C(0,3)

∴

解得

∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+3

故答案为：y＝﹣x2+x+3

（2）在抛物线上找到一点Q，使得△QCO是等边三角形，过点Q作OM⊥OB于点M，过点Q作QN⊥OC于点N

∵△QCO是等边三角形，OC=3

∴CN=

∴NQ=

即Q(,)

当x=时，y＝﹣×()2+×+3=≠

∴Q(,)不在抛物线上

y＝﹣x2+x+3

故答案为：不存在，理由见解析

（3）①⊙M与y轴相切，如图所示

∵y＝﹣x2+x+3

当y=0时，﹣x2+x+3=0

解得x1=-1，x2=4

∴B(4,0)

令直线BC的解析式为y=kx+b

解得

∴直线BC的解析式为

令M点横坐标为t

∵MP∥y轴，⊙M与y轴相切

∴t=﹣t2+t+3-

解得t=

⊙M的半径为

②⊙M与x轴相切，过点M作MN⊥OB于N，如图所示

令M点横坐标为m

∵PN=2MN

∴

解得m=1或m=4（舍去）

∴⊙M的半径为：

故答案为：⊙M的半径为或