Question

【题目】如图，已知点A（2，3）和点B（0，2），点A在反比例函数y=的图象上，作射线AB，交反比例函数图象于另一点M，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C，则CM的长度为（　　）

A. 5 B. 6 C. 4 D. 5

Answer 1

【答案】D

【解析】

过A作AE⊥x轴于E，以AE为边在AE的左侧作正方形AEFG，交AB于P，根据直线AB的解析式为y=x+2，可得PF=，将△AGP绕点A逆时针旋转90°得△AEH，构造△ADP≌△ADH，再设DE=x，则DH=DP=x+，FD=1+2-x=3-x，在Rt△PDF中，根据PF2+DF2=PD2，可得方程（）2+（3-x）2=（x+）2，解方程求得x=1，即可得D（1，0），再直线AD的解析式为y=3x-3，最后解方程组求得C点坐标．解方程组求得点M的坐标，再根据两点间的距离公式即可求得CM的长.

如图所示，过A作AE⊥x轴于E，以AE为边在AE的左侧作正方形AEFG，交AB于P，

根据点A（2，3）和点B（0，2），可得直线AB的解析式为y=x+2，点A在反比例函数y=的图象上，可得y=，

由A（2，3），可得OF=1，

当x=-1时，y=-+2=，即P（-1，），

∴PF=，

将△AGP绕点A逆时针旋转90°得△AEH，则△ADP≌△ADH，

∴PD=HD，PG=EH=，

设DE=x，则DH=DP=x+，FD=1+2-x=3-x，

Rt△PDF中，PF2+DF2=PD2，

即（）2+（3-x）2=（x+）2，

解得x=1，

∴OD=2-1=1，即D（1，0），

根据点A（2，3）和点D（1，0），可得直线AD的解析式为y=3x-3，

解方程组 可得 或

∴C（-1，-6），

解方程组可得 或

∴M（-6，-1），

∴.

故选D.