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【题目】如图,直线y =x+4x轴,y轴分别交于点BC,点Ax轴负半轴上,且OA=OB, 抛物线y =ax2+bx+4经过ABC三点.

1)求抛物线的解析式;

2)点P是第一象限内抛物线上的动点,设点P的横坐标为m,过点PPDBC,垂足为D,用含m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD的最大值;

3)设点E为抛物线对称轴与直线BC的交点,若ABE三点到同一直线的距离分别是d1d2d3,问是否存在直线l,使得d1= d2=d3? 若存在,请直接写出d3的值,若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=x2+ x+4;(2)当m=2时,PE最大,最大值为;(3)存在,满足题意的d3的值为26

【解析】

1)由直线y=-x+4得出B40),C04),即可得出A-20),将AB坐标代入抛物线解析式求出ab的值,即可确定出抛物线解析式;

2)已知P点横坐标,根据直线AB、抛物线的解析式,求出CP的坐标,由此得到线段PC的长;在RtOBC中,∠OCB=45°,根据平行线的性质得出∠PFD=45°,解直角三角形即可求出PD的表达式,利用二次函数的性质求出PD的最大值即可.

3)见解析.

:1)由y=x+4 x=0时,y=4 y=0时,x=4

B(40) C(04)OB=4

OA=OB=2 A(20)

A(20)B(40)分别代入抛物线y=ax2+bx+4中,得

解得

抛物线的解析式为 y=x2+ x+4

2P的横坐标为m,则P(m,-m2+ m+4)

过点PPFy轴交BC于点F,则F(m,-m+4)

PF=m2+ m+4(m+4)=m2+2m

Rt△OBC中,OB=4OC=4

PFy轴, ∴ ∠PFD=∠OCB=45°

PD=PF·sin∠PFD= PF·sin∠OCB =(m2+2m)=img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2020/10/22/06/64e53364/SYS202010220603483477190214_DA/SYS202010220603483477190214_DA.008.png" width="28" height="45" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />(m2)2+

∵ 0m4,-0m=2时,PE最大,最大值为

3)存在,∵y=x2+ x+4=x-1+

∴C点坐标为(1,3),

如图,d1= d2=d3

满足题意的d3的值为26

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