Question

【题目】如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-3，0)，其对称轴为直线x=-1，有下列结论：①abc<0；②a-b-2c>0；③关于的方程ax2+(b-m)x+c=m有两个不相等的实数根；④若，是抛物线上两点，且，则实数的取值范围是.其中正确结论的个数是( )

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据抛物线开口方向、对称轴、及与y轴的交点位置可对①进行判断；根据对称轴和抛物线与x的一个交点（-3，0）可得另一个交点坐标为（1，0），可知=-3，即c=-3a，根据对称轴方程可得b=2a，代入a-b-2c，根据a的符号即可对②进行判断；根据b2-4ac>0，b=2a，判断方程ax2+(b-m)x+c=m的判别式的符号即可对③进行判断；把P、Q两点坐标代入抛物线解析式，根据y1>y2列出不等式，根据c=-3a，b=2a解不等式求出m的取值范围即可对④进行判断.

∵抛物线开口向上，与y轴交点在y轴负半轴，

∴a>0，c<0，

∵对称轴x==-1<0,

∴b>0，b=2a，

∴abc<0，故①正确，

∵对称轴为x=-1，与x轴的一个交点为A（-3，0），

∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），

∴=-3，即c=-3a，

∴a-b-2c=a-2a+6a=5a>0，故②正确，

方程ax2+(b-m)x+c=m的判别式为△=(b-m)2-4a(c-m)=b2-4ac+m2-2m(b-2a)

∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，

∴b2-4ac>0,

∵b=2a，

∴△= b2-4ac+m2>0，

∴方程ax2+(b-m)x+c=m有两个不相等的实数根，故③正确，

∵P（-5，y1）、Q(m，y2)是抛物线上两点，

∴y1=25a-5b+c，y2=am2+bm+c，

∵y1>y2，

∴25a-5b>am2+bm，

∵b=2a，

∴25a-10a>am2+2am，

∵a>0，

∴m2+2m-15<0，

解得：-5<m<3，故④正确，

综上所述：正确的结论有①②③④，共4个，

故选D.