Question

【题目】如图，直线l是线段MN的垂直平分线，交线段MN于点O，在MN下方的直线l上取一点P，连接PN，以线段PN为边，在PN上方作正方形NPAB，射线MA交直线l于点C，连接BC．

（1）设∠ONP＝α，求∠AMN的度数；

（2）写出线段AM、BC之间的等量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）45°（2），理由见解析

【解析】

（1）由线段的垂直平分线的性质可得PM＝PN，PO⊥MN，由等腰三角形的性质可得∠PMN＝∠PNM＝α，由正方形的性质可得AP＝PN，∠APN＝90°，可得∠APO＝α，由三角形内角和定理可求∠AMN的度数；

（2）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得，，∠MNC＝∠ANB＝45°，可证△CBN∽△MAN，可得．

解：（1）如图，连接MP，

∵直线l是线段MN的垂直平分线，

∴PM＝PN，PO⊥MN

∴∠PMN＝∠PNM＝α

∴∠MPO＝∠NPO＝90°－α，

∵四边形ABNP是正方形

∴AP＝PN，∠APN＝90°

∴AP＝MP，∠APO＝90°－（90°－α）＝α

∴∠APM＝∠MPO－∠APO＝（90°－α）－α＝90°－2α，

∵AP＝PM

∴，

∴∠AMN＝∠AMP－∠PMN＝45°＋α－α＝45°

（2）

理由如下：

如图，连接AN，CN，

∵直线l是线段MN的垂直平分线，

∴CM＝CN，

∴∠CMN＝∠CNM＝45°，

∴∠MCN＝90°

∴，

∵四边形APNB是正方形

∴∠ANB＝∠BAN＝45°

∴，∠MNC＝∠ANB＝45°

∴∠ANM＝∠BNC

又∵

∴△CBN∽△MAN

∴

∴