Question

【题目】矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转至矩形EGCF（其中E、G、F分别与A、B、D对应）．

（1）如图1，当点G落在AD边上时，直接写出AG的长为　 　；

（2）如图2，当点G落在线段AE上时，AD与CG交于点H，求GH的长；

（3）如图3，记O为矩形ABCD对角线的交点，S为△OGE的面积，求S的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）4﹣2；（2）；（3）4﹣≤S≤4+

【解析】

（1）在Rt△DCG中，利用勾股定理求出DG即可解决问题；

（2）首先证明AH＝CH，设AH＝CH＝m，则DH＝AD﹣HD＝4﹣m，在Rt△DHC中，根据CH2＝CD2+DH2，构建方程求出m即可解决问题；

（3）如图，当点G在对角线AC上时，△OGE的面积最小，当点G在AC的延长线上时，△OE′G′的面积最大，分别求出面积的最小值，最大值即可解决问题．

解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴BC＝AD＝CG＝4，∠D＝90°，

∵AB＝CD＝2，

∴DG＝＝＝2，

∴AG＝AB﹣BG＝4﹣2，

故答案为:4﹣2．

（2）如图2中，

由四边形CGEF是矩形，得到∠CGE＝90°，

∵点G在线段AE上，

∴∠AGC＝90°，

∵CA＝CA，CB＝CG，

∴Rt△ACG≌Rt△ACB（HL）．

∴∠ACB＝∠ACG，

∵AB∥CD

∴∠ACG＝∠DAC，

∴∠ACH＝∠HAC，

∴AH＝CH，设AH＝CH＝m，则DH＝AD﹣AH＝5﹣m，

在Rt△DHC中，∵CH2＝DC2+DH2，

∴m2＝22+（4﹣m）2，

∴m＝，

∴AH＝，GH＝＝＝．

（3）在Rt△ABC中，,，

由题可知，G点在以C点为圆心，BC为半径的圆上运动，且GE与该圆相切，因为GE=AB不变，所以O到直线GE的距离即为△OGE的高，当点G在对角线AC上时，OG最短，即△OGE的面积最小，最小值＝×OG×EG＝×2×（4﹣）＝4﹣．

当点G在AC的延长线上时，OG最长，即△OE′G′的面积最大．最大值＝×E′G′×OG′＝×2×（4+）＝4+.

综上所述，4﹣≤S≤4+．