Question

7．如图，在正方形ABCD中，E为AD中点，AH⊥BE于点H，连接CH并延长交AD于点F，CP⊥CF交AD的延长线于点P，若EF=1，则DP的长为$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 设正方形ABCD的边长为2x，根据勾股定理得到BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{（2x）^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，由△AHE∽△BAE，得到$\frac{EH}{AE}=\frac{AE}{BE}$，求得EH=$\frac{x}{\sqrt{5}}$，通过△EFH∽△BCH，得到$\frac{EF}{BC}=\frac{EH}{BH}$，即$\frac{1}{2x}=\frac{\frac{x}{\sqrt{5}}}{\frac{4\sqrt{5}x}{5}}$，得到BC=4，DF=3，通过△DCF∽△DPC，得到$\frac{CD}{DF}=\frac{DP}{DC}$，即可得到结论．

解答 解：设正方形ABCD的边长为2x，
∵E为AD中点，
BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{（2x）^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，
∵AB⊥AD，AH⊥BE，
∴∠EAH=∠ABE=90°-∠BAH，∠BAE=∠AHE，
∴△AHE∽△BAE，
∴$\frac{EH}{AE}=\frac{AE}{BE}$，
∴$\frac{EH}{x}=\frac{x}{\sqrt{5}x}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴EH=$\frac{x}{\sqrt{5}}$，
∴BH=BE-EH=$\frac{4\sqrt{5}x}{5}$，
∵AD∥BC，
∴△EFH∽△BCH，
∴$\frac{EF}{BC}=\frac{EH}{BH}$，即$\frac{1}{2x}=\frac{\frac{x}{\sqrt{5}}}{\frac{4\sqrt{5}x}{5}}$，
∴x=2，
∴BC=4，DF=3，
∵CP⊥CF，
∴∠DCF=∠P=90°-∠DCP．
∵∠CDF=∠CDP=90°
∴△DCF∽△DPC，
∴$\frac{CD}{DF}=\frac{DP}{DC}$，
∴PD=$\frac{D{C}^{2}}{DF}$=$\frac{{4}^{2}}{3}$=$\frac{16}{3}$．
故答案为：$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．