Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（1，0），以OA为边在第一象限内作等边△OAB，C为x轴正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以BC为边在第一象限内作等边△BCD，直线DA交y轴于E点．
（1）如图，当C点在x轴上运动时，设AC=x，请用x表示线段AD的长；
（2）随着C点的变化，直线AE的位置变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出直线AE的解析式； 
（3）设四边形ABCD的面积为S，求S关于x的函数关系式．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）由△OAB和△BCD都为等边三角形，等边三角形的边长相等，且每一个内角都为60°，得到∠OBA=∠DBC，等号两边都加上∠ABC，得到∠OBC=∠ABD，根据“SAS”得到△OBC≌△ABD，即可得到对应边AD与OC相等，由OC表示出AD即可；
（2）随着C点的变化，直线AE的位置不变．理由为：由（1）得到的两三角形全等，得到∠BAD=∠BOC=60°，又等边三角形BCD，得到∠BAO=60°，根据平角定义及对顶角相等得到∠OAE=60°，在直角三角形OAE中，由OA的长，根据tan60°的定义求出OE的长，确定出点E的坐标，设出直线AE的方程，把点A和E的坐标代入即可确定出解析式；
（3）作BM⊥OC，DN⊥OC，根据等边三角形的性质求得BN，然后求得△OAE∽△NAD，从而求得DN，最后根据S=S_△ABD+S_△ADC=S_△OBC+S_△ADC即可求得S关于x的函数关系式．

解答：解：（1）∵△OAB和△BCD都为等边三角形，
∴OB=AB，BC=BD，
∠OBA=∠DBC=60°，即∠OBA+∠ABC=∠DBC+∠ABC，
∴∠OBC=∠ABD，
∴△OBC≌△ABD，
∴AD=OC=1+x；

（2）随着C点的变化，直线AE的位置不变．理由如下：
由△OBC≌△ABD，得到∠BAD=∠BOC=60°，
又∵∠BAO=60°，
∴∠DAC=60°，
∴∠OAE=60°，又OA=1，
在直角三角形AOE中，tan60°=

OE

OA

，
则OE=

3

，点E坐标为（0，-

3

），A（1，0），
设直线AE解析式为y=kx+b，把E和A的坐标代入得：

k+b=0 b=- 3

，
解得：

k= 3 b=- 3

，
所以直线AE的解析式为y=

3

x-

3

；

（3）∵E（0，-

3

），A（1，0），
∴AE=2，
作BM⊥OC，DN⊥OC，
∴∠AOE=∠AND=90°，
∵∠OAE=∠NAD，
∴△OAE∽△NAD，
∴

OE

AE

=

DN

AD

，
∵OE=

3

，AE=2，AD=1+x，
∴DN=

3

2

（1+x），
∵等边三角形OAB是边长为1，
∴BM=

3

2

，
∴S=S_△ABD+S_△ADC=S_△OBC+S_△ADC=

1

2

OC•BM+

1

2

AC•DN=

1

2

（1+x）×

3

2

+

1

2

x×

3

2

（1+x）=

3

4

+

3

2

x+

3

4

x²，
即S=

3

4

+

3

2

x+

3

4

x²．

点评：此题综合考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质．求得△OBC≌△ABD是本题的关键．