Question

如图，已知A（0，4），B（3，0），M（1，1），AB=5，MH⊥BO，P为x轴负半轴上一动点，作x轴关于PM对称轴的直线PQ交y轴于点Q，交AB于R，OD平分∠POQ交PM于D．

（1）求证：BM平分∠ABO；
（2）当

OQ

PQ

=

1

2

时，求

OD

DM

的值．

Answer 1

考点：一次函数综合题,三角形的外角性质,轴对称的性质,锐角三角函数的定义

专题：综合题

分析：（1）过点M作ME⊥y轴于点E，过点M作MF⊥AB于点F，连接MA、MO、MB，如图1，运用面积法求得MF=1，从而有MH=MF，然后根据角平分线的判定即可得到结论；
（2）由条件“

OQ

PQ

=

1

2

”可得∠QPO=30°，根据轴对称的性质可得∠OPM=15°，易证∠DOM=90°，在Rt△DOM中，根据三角形外角性质可得∠OMD=30°，然后只需运用三角函数的定义就可解决问题．

解答：（1）证明：过点M作ME⊥y轴于点E，过点M作MF⊥AB于点F，连接MA、MO、MB，如图1．

∵A（0，4），B（3，0），M（1，1），AB=5，MH⊥BO，
∴S_△AOB=S_△AOM+S_△OBM+S_△ABM
=

1

2

AO•ME+

1

2

OB•MH+

1

2

AB•MF
=

1

2

×4×1+

1

2

×3×1+

1

2

×5×MF
=

7

2

+

5

2

MF．
又∵S_△AOB=

1

2

OB•OA=

1

2

×3×4=6，
∴

7

2

+

5

2

MF=6，
解得MF=1，
∴MH=MF．
∵MH⊥OB，MF⊥AB，
∴BM平分∠ABO．

（2）解：连接OM，如图2．

在Rt△POQ中，
当

OQ

PQ

=

1

2

时，有sin∠QPO=

OQ

PQ

=

1

2

，
∴∠QPO=30°．
∵直线PB与直线PR关于直线PM对称，
∴∠QPM=∠OPM=

1

2

∠QPO=15°．
∵OH=MH=1，∠OHM=90°，
∴∠HMO=∠MOH=45°．
∵OD平分∠POQ，
∴∠POD=∠QOD=

1

2

∠POQ=45°，
∴∠DOM=180°-45°-45°=90°．
在Rt△DOM中，
∵∠OMD=∠MOH-∠MPO=45°-15°=30°，
∴sin∠OMD=

OD

DM

=sin30°=

1

2

，
∴

OD

DM

的值为

1

2

．

点评：本题主要考查了轴对称的性质、三角形的外角性质、锐角三角函数的定义、角平分线的判定（到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上）等知识，运用面积法求出MF的长是解决第（1）小题的关键，求得∠DOM=90°及∠OMD=30°是解决第（2）小题的关键．