Question

如图，已知CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=CD．
（1）求证：点D在∠BAC的平分线上；
（2）若把条件“BD=CD”与（1）中的结论交换位置，所得到的命题是真命题吗？请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：证明题

分析：（1）首先根据已知条件易证Rt△BDE≌Rt△CDF，则DE=DF，再由角平分线性质的逆定理可得D在∠BAC的平分线上；
（2）由点D在∠BAC的平分线上，根据角平分线的性质可以得到DE=DF，然后根据ASA得到△BDE≌△CDF，进而得到BD=CD．

解答：（1）证明：：∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在△BDE和△CDF中，

∠BED=∠CFD   ∠BDE=∠CDF   BD=CD

，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE=DF，
又∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴D在∠BAC的平分线上；
（2）若把条件“BD=CD”与（1）中的结论交换位置，所得到的命题是真命题，理由如下：
∵点D在∠BAC的平分线上，CE⊥AB，BF⊥AC，
∴DE=EF，
在△BDE和△CDF中，

∠BED=∠CFD   DE=DF   ∠BDE=∠CDF

，
∴△BDE≌△CDF（ASA），
∴BD=CD．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线性质的定理和逆定理，分清条件和结论是关键．