Question

【题目】背景阅读　早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，在本题中，我们把三边的比为3∶4∶5的三角形称为(3，4，5)型三角形，例如：三边长分别为9，12，15的三角形就是(3，4，5)型三角形，用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形．

实践操作　如图①，在矩形纸片ABCD中，AD＝8 cm，AB＝12 cm.

第一步：如图②，将图①中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，再沿EF折叠，然后把纸片展平．

第二步：如图③，将图②中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH，然后展平，隐去AF.

第三步：如图④，将图③中的矩形纸片沿AH折叠，得到△AD′H，再沿AD′折叠，折痕为AM，AM与折痕EF交于点N，然后展平．

问题解决

(1)请在图②中证明四边形AEFD是正方形；

(2)请在图④中判断NF与ND′的数量关系，并加以证明；

(3)请在图④中证明△AEN是(3，4，5)型三角形．

　　　　

Answer 1

【答案】(1)证明见解析(2)NF＝ND′(3)证明见解析

【解析】

（1）根据矩形的性质得到∠D=∠DAE=90°，由折叠的性质得得到AE=AD，∠AEF=∠D=90°，求得∠D=∠DAE=∠AEF=90°，得到四边形AEFD是矩形，由于AE=AD，于是得到结论；

（2）连接HN，由折叠的性质得到∠AD′H=∠D=90°，HF=HD=HD′，根据正方形的想知道的∠HD′N=90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；

（3）根据正方形的性质得到AE=EF=AD=8cm，由折叠得，AD′=AD=8cm，设NF=xcm，则ND′=xcm，根据勾股定理列方程得到x=2，于是得到结论；

(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D＝∠DAE＝90°.

由折叠的性质得AE＝AD，∠AEF＝∠D＝90°，∴∠D＝∠DAE＝∠AEF＝90°，

∴四边形AEFD是矩形．

又∵AE＝AD，∴矩形AEFD是正方形．

(2)NF＝ND′.

证明：连接HN，由折叠的性质得∠AD′H＝∠D＝90°，HF＝HD＝HD′.

由(1)知四边形AEFD是正方形，∴∠EFD＝90°.

∵∠AD′H＝90°，∴∠HD′N＝90°.

在Rt△HNF和Rt△HND′中，

∵HN＝HN，HF＝HD′，

∴Rt△HNF≌Rt△HND′，

∴NF＝ND′.

(3)证明：由(1)知四边形AEFD是正方形，

∴AE＝EF＝AD＝8 cm，

由折叠的性质得AD′＝AD＝8 cm.

设NF＝x cm，则ND′＝x cm.

在Rt△AEN中，∵AN2＝AE2＋EN2，∴(8＋x)2＝82＋(8－x)2，解得x＝2，∴AN＝8＋x＝10 cm，EN＝6 cm，∴EN∶AE∶AN＝3∶4∶5，∴△AEN是(3，4，5)型三角形．