Question

5．已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴相交于点A（-1，0）和点B（4，0），与y轴相交于点C（0，-4）
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，在抛物线上是否存在点D，使得△ADC的面积与△ADB的面积比为1：3？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点A、B、C三点代入代入解析式解方程组即可．
（2）如由图象可知点D在第四象限，作CM⊥AD，BN⊥AD垂足分别为M、N，AD与BC交于点H，作HE⊥OC，HF⊥OB垂足分别为E、F，根据CM：BN=1：3求出点H坐标，求出直线AH，再通过方程组求出点D坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴相交于点A（-1，0）和点B（4，0），与y轴相交于点C（0，-4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=-4}\\{a-b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-3}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x²-3x-4．
（2）如图由图象可知点D在第四象限，作CM⊥AD，BN⊥AD垂足分别为M、N，AD与BC交于点H，作HE⊥OC，HF⊥OB垂足分别为E、F．
∵S_△ACD：S_△ABD=1：3，
∴CM：BN=1：3，
∵CM∥BN，
∴CH：BH=CM：BN=1：3，
∵EH∥OC，
∴EH：OB=CH：CB=1：4，
∴EH=1，同理可以得到FH=3，
∴点H坐标为（1，-3），
∴直线AH为y=-$\frac{3}{2}$x-$\frac{3}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}}\\{y={x}^{2}-3x-4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=-\frac{21}{4}}\end{array}\right.$，
∴点D的坐标为（$\frac{5}{2}$，-$\frac{21}{4}$）．

点评 本题考查待定系数法确定二次函数、一次函数的解析式，三角形的面积公式，综合性比较强，有难度，学会转化的思想是解决问题的关键，属于中考常考题型．