Question

已知二次方程x²+（2m+1）x+m²-2m+

3

2

=0的两个实数根为α和β，
（1）求m的取值范围；
（2）若|α|+|β|=2，求m的值．

Answer 1

考点：根与系数的关系,根的判别式

专题：

分析：（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b²-4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围；
（2）先由根与系数的关系得到2m+1=-（α+β），α•β=m²-2m+

3

2

=（m-1）²+

1

2

＞0，那么α和β同号，再由|α|+|β|=2，分α+β=-2或α+β=2进行讨论即可．

解答：解：（1）由题得△=（2m+1）²-4（m²-2m+

3

2

）
=4m²+4m+1-4m²+8m-6
=12m-5≥0，
则m≥

5

12

；

（2）∵根据韦达定理得α+β=-（2m+1），α•β=m²-2m+

3

2

，
∴2m+1=-（α+β），α•β=m²-2m+

3

2

=（m-1）²+

1

2

＞0，
∴α•β＞0，即α和β同号，
∴由|α|+|β|=2得：α+β=-2或α+β=2．
当α+β=-2时，2m+1=2，解得m=

1

2

；
当α+β=2时，2m+1=-2，解得m=-

3

2

．
又∵m≥

5

12

，
∴m=-

3

2

不合题意，舍去，
则m=

1

2

．

点评：本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的条件．