Question

10．如图所示，已知△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，CD=3，试求AD的长．

Answer 1

分析 如图，过B作BE⊥AC，垂足为E交AD于F，由∠BAC=45°可以得到BE=AE，再根据已知条件可以证明△AFE≌△BCE，可以得到AF=BC=10，而∠FBD=∠DAC，又∠BDF=∠ADC=90°，由此可以证明△BDF∽△ADC，所以FD：DC=BD：AD，设FD长为x，则可建立关于x的方程，解方程即可求出FD，AD的长．

解答 解：如图，过B作BE⊥AC，垂足为E交AD于F，
∵∠BAC=45°，
∴BE=AE，
∵∠C+∠EBC=90°，∠C+∠EAF=90°，
∴∠EAF=∠EBC，
在△AFE与△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAF=∠EBC}\\{BE=AE}\\{∠FEA=∠CEB=90°}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△BCE（ASA），
∴AF=BC=BD+DC=5，∠FBD=∠DAC，
又∵∠BDF=∠ADC=90°，
∴△BDF∽△ADC，
∴FD：DC=BD：AD，
设FD长为x，则
x：2=3：（x+5），
解得x=1，即FD=1，
∴AD=AF+FD=5+1=6．

点评 本题考查了解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．