Question

【题目】有这样一个问题：探究同一坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数与的图象性质.小明根据学习函数的经验，对函数与，当k>0时的图象性质进行了探究，下面是小明的探究过程：

（1）如图所示，设函数与图像的交点为A,B.已知A的坐标为(-k，-1)，则B点的坐标为 .

(2)若P点为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点.

①设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N.求证：PM=PN.

证明过程如下：设P(m，)，直线PA的解析式为y=ax+b(a≠0).

则 解得

所以,直线PA的解析式为 ．

请把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明.

②当P点坐标为(1,k)(k≠1)时，判断ΔPAB的形状，并用k表示出ΔPAB的面积.

Answer 1

【答案】（1）（k，1）；（2）①证明见解析；②ΔPAB为直角三角形.或.

【解析】

试题分析：（1）利用反比例函数的对称性指：A点和B点关于原点对称，从而求出B(k，1)

(2)①解方程组，直线PA的解析式为，求出M（m-k,0）;同理求出：N（m+k,0）,作PH⊥x轴，得H（m,0），∴MK=NK=k，最后利用线段垂直平分线线定理知PM=PN.

②分两种情况讨论：第一：当k＞1时，；

第二：当0＜k＜1时，.

试题解析：（1）B点的坐标为（k，1）

（2）①证明过程如下：设P(m，)，直线PA的解析式为y=ax+b(a≠0).

则 解得

所以,直线PA的解析式为．

令y=0，得x=m-k

∴M点的坐标为（m-k，0）

过点P作PH⊥x轴于H

∴点H的坐标为（m，0）

∴MH=xH-xM=m-(m-k)=k.

同理可得：HN=k

∴PM=PN

②由①知，在ΔPMN中，PM=PN

∴ΔPMN为等腰三角形，且MH=HN=k

当P点坐标为（1，k）时，PH=k

∴MH=HN=PH

∴∠PMH=∠MPH=45°，∠PNH=∠NPH=45°

∴∠MPN=90°，即∠APB=90°

∴ΔPAB为直角三角形.

当k>1时，如图1，

=

=

当0<k<1时，如图2，

=

=