Question

【题目】如图，在中，点在上，且．动点同时从点出发，均以的速度运动，其中点P沿向终点运动；点沿向终点运动．过点作分交于点，设动点运动的时间为秒．

（1）求的长(用含的代数式表示)；

（2）以点为顶点圈成的围形面积为求与之间的函数关系式；

（3）连接若点为中点在整个运动过程中，直接写出点运动的路径长．

Answer 1

【答案】（1）当时，；当时，；（2）；（3）

【解析】

（1）直接根据题意可判断DQ的长度；

（2）需要分3种情况分析，一种是当时，此段点Q在点D的右侧；第二种是当时，此段点Q在点D左侧，点P还未到达点A；第三段是当时，此段点P到达点A处，点Q在DB上运动；

（3）需要分2段考虑，一段是时，此段，点P在CA上运动，点Q在CB上运动；第二段是时，此段，点P到达点A处，点Q在DB上运动．

（1）根据题意：

当时，；

当时，.

（2）当时，如下图：

当时，如下图：

当时，如下图：

综上所述

（3）如下图，在BC上取点G，使得GC=4，取AG、AB的中点为T、N，连接CM，TN

当0≤t≤4时

点P在CA上运动，点Q在CG上运动，当t=4时，点P运动到点A处，点Q运动到点G处

∵点M是PQ的中点

∴在此段运动过程中，点M的运动轨迹为CT

∵AC=CG=4，∠ACG=90°，点T是AG的中点

∴CT=2

b.当4＜t≤5时

点P到达点A处，点Q在GB上运动，直至到达点B

∵点M是PQ的中点

∴当t=5时，点M在点N处，即AB的中点

故在此段运动过程中，点M的运动轨迹为TN

∵点T、N分别时AG、AB的中点

∴TN是△ABG的中位线

∵BC=5，CG=4

∴GB=1

∴TN=

∴点M在整个过程中的路程为：2