Question

【题目】在中，，，，点D在边AB上，且，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，以PD为边向上做正方形，设点P运动的时间为秒，正方形与重叠部分的面积为．

（1）用含有的代数式表示线段的长．

（2）当点落在的边上时，求的值．

（3）求与的函数关系式．

（4）当点P在线段AD上运动时，做点N关于CD的对称点，当与的某一个顶点的连线平分的面积时，求的值．

Answer 1

【答案】（1）当0t3时PD=3-t，当3＜t7时，PD=t-3；（2），；（3）；（4），，．

【解析】

（1）分0＜t≤3时，3＜t≤7时，两种情形分别求解即可．

（2）分两种情形①如图2中，当点N在AC上时，②如图3中，当点N在BC上时，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．

（3）分三种情形：①如图4中，当0＜t≤时，重叠部分是五边形EFPDM，②如图5或6中．当＜t≤5时，重叠部分是正方形PDMN．③如图7中，当5＜t≤7时，重叠部分是五边形EFPDM，分别求解即可．

（4）分三种情形画出图形，利用平行线分线段成比例定理构建方程即可解决问题．

解：（1）如图1中，作CD′⊥AB于D．

∵∠B＝45°，BC＝4，

∴CD′＝BD′＝4，

又∵CD′⊥AB，，

∴在Rt△ACD′中，

AD′＝，

∵AD＝3，

∴AD＝AD′，

∴D′与D重合，

当0＜t≤3时，PD＝3﹣t．

当3＜t≤7时，PD＝t﹣3．

（2）①如图2中，当点N在AC上时，

∵MN∥AD，

∴，

∴，

解得t＝．

②如图3中，当点N在BC上时，

∵MN∥BD，

∴，

∴，

解得t＝5

综上所述，满足条件的t的值为s或5s．

（3）①如图4中，当0＜t≤时，重叠部分是五边形EFPDM，

s＝S正方形MDPN﹣S△NEF＝（3﹣t）2﹣

②如图5或6中，当＜t≤5时，重叠部分是正方形PDMN，s＝t2﹣6t+9

③如图7中，当5＜t≤7时，重叠部分是五边形EFPDM，s＝S正方形MNPD﹣S△EFN＝（t﹣3）2﹣[（t﹣3）﹣（7﹣t）]2＝﹣t2+14t﹣41．

综上所述，．

（4）如图8中，当点N′落在中线AE上时，作EK⊥BC于K，N′J⊥AB于J．

∵JN′∥EK，

∴，

则有，

解得t＝1．

如图9中，当点N′落在中线BG上时，作GK⊥BC于K，N′J⊥AB于J．

∵N′J∥GK，

∴，

∴，

解得t＝．

如图10中，当点N′落在中线CF上时，

∵MN′∥DF，

∴，

∴，

解得t＝．

综上所述，满足条件的t的值为1s或s或s．