Question

1．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，BC=6，D为BC上一点，CD=2，射线DG，BC交AB于点G．点P从点A出发以每秒$\sqrt{5}$个单位长度的速度沿AB方向运动，点Q从点D出发以每秒2个单位长度的速度沿射线DG运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点B时停止运动，点Q也随之停止，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，得到矩形PECF，点M为点D关于点Q的对称点，以QM为直角边，在射线DG的右侧作Rt△QMN，使QN=2QM．设运动时间为t（单位：秒）．
（1）当点N恰好落在PF上时，求t的值．
（2）当△QMN和矩形PECF有重叠部分时，直接写出重叠部分图形面积S与t的函数关系式以及自变量t的取值范围．
（3）连接PN、ND、PD，是否存在这样的t值，使△PND为直角三角形？若存在，求出相应的t值若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求得AB=3$\sqrt{5}$，根据题意可得QN=2QM=4t，再由△APE∽△ABC表示出AE的长度，根据QN=CD-PE，建立方程求得t的值；
（2）首先应明确各节点重叠图形的变化，根据重叠图形的形状表示重叠部分图形面积S与t的函数关系式，也可得出相应自变量t的取值范围；
（3）分别表示出PN、ND、PD，分三种情况讨论，再由勾股定理，可得t的值．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=6，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵△APE∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{PE}{BC}$，
即$\frac{\sqrt{5}t}{3\sqrt{5}}$=$\frac{PE}{6}$，
∴PE=2t，FC=PE=2t，DF=3-2t，
∵点N恰好落在PF上，QN=2QM=4t，
∴2t=3-4t，
解得：t=$\frac{1}{3}$．

（2）①当$\frac{1}{3}$＜t≤$\frac{2}{3}$时，如图所示：

HN=4t-（2-2t）=6t-2，KH=$\frac{1}{2}$HN=3t-1，
∴S=$\frac{1}{2}$（6t-2）（3t-1）=9t²-6t+1；
②$\frac{2}{3}$≤t＜$\frac{4}{5}$时，S=5t²-2t；
③当$\frac{4}{5}$≤t＜1时，S=-31t²+46t-16；
④当1≤t＜$\frac{3}{2}$时，S=-6t²+6t．

（3）DN²=DQ²+QN²=（2t）²+（4t）²=20t²，
PD²=DF²+PF²=（2-2t）²+（3-t）²=5t²-14t+13，
PN²=HN²+PH²=[4t-（2-2t）]²+（3-t-2t）²=45t²-42t+13，
①当∠PND=90°时，20t²+45t²-42t+13=5t²-14t+13，
解得：t₁=0（舍去），t₂=$\frac{7}{15}$；
②当∠PDN=90°时，20t²+（5t²-14t+13）=45t²-42t+13，
解得：t₁=0（舍去），t₂=$\frac{7}{5}$，
③当∠PDN=90°时，（5t²-14t+13）+（45t²-42t+13）=20t²，
解得：t₁=1，t₂=$\frac{13}{15}$，
综上可得：t=$\frac{7}{15}$或$\frac{7}{5}$或1或$\frac{13}{15}$．

点评 此题考查了相似三角形的综合题，相似三角形的性质，分类讨论利用勾股定理解决问题，利用三角形的面积重叠图形的形状得出S与t的关系式，注意数形结合思想的运用．